Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Треугольная форма 169
2. Теорема Шура. Пусть A — квадратная матрица поряд-
ка n; λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— характеристические числа матрицы A, за-
нумерованные в некотором порядке. Существует унитарная мат-
рица U такая, что
U
∗
AU = T, (2.1)
где T — верхняя треугольная матрица вида
T =
λ
1
t
12
. . . t
1n
0 λ
2
. . . t
2n
. . . . . . . . . t
n−1,n
0 0 . . . λ
n
. (2.2)
Доказательство. Пусть u
1
— собственный вектор матрицы A,
отвечающий собственному числу λ
1
. Собственные векторы матрицы
определяются с точностью до множителя, поэтому можно считать,
что |u
1
| = 1
1)
.
Построим в пространстве C
n
ортонормированный базис {u
k
}
n
k=1
(см. с. 126) и обозначим через U
1
матрицу, столбцами которой служат
элементы векторов {u
k
}
n
k=1
.
Вычислим матрицу U
∗
1
AU
1
. Учтем при этом, что Au
1
= λ
1
u
1
,
а (u
k
, u
1
) = 0 для k = 2, . . . , n. В результате получим, что
U
∗
1
AU
1
=
µ
λ
1
∗
0 A
1
. (2.3)
Справа в этом равенстве — блочная 2 × 2 матрица. Первый диаго-
нальный блок состоит из одного элемента, равного λ
1
. Второй диа-
гональный блок — квадратная матрица размера n − 1. Блок в пози-
ции (2,1) — нулевой столбец длины n − 1. Блок в позиции (1,2) —
строка длины n − 1 с ненулевыми, вообще говоря, элементами. Обо-
значения, аналогичные использованным здесь, будут применяться и
в дальнейшем.
Матрица U
∗
1
AU
1
подобна матрице A, поэтому (см. теорему 4.4,
с. 164)
sp(U
∗
1
AU
1
) = sp(A).
С другой стороны, из (2.3) вытекает, что sp(U
∗
1
AU
1
) = λ
1
∪ sp(A
1
).
Для того, чтобы убедиться в этом, нужно разложить по по первому
столбцу определитель det(λI − U
∗
1
AU
1
). Таким образом,
sp(A
1
) = {λ
2
, . . . , λ
n
}.
1)
Здесь и далее на протяжение этого параграфа под скалярным произведением понимается
стандартное скалярное произведение в пространстве C
n
.
§ 2. Треугольная форма                                                            169


    2. Теорема Шура. Пусть A — квадратная матрица поряд-
ка n; λ1 , λ2 , . . . , λn — характеристические числа матрицы A, за-
нумерованные в некотором порядке. Существует унитарная мат-
рица U такая, что
                                 U ∗ AU = T,                   (2.1)
где T — верхняя треугольная           матрица вида
                                                         
                         λ1            t12   . . . t1n
                       0              λ2    . . . t2n 
                  T =                                      .                   (2.2)
                         ...           ...   . . . tn−1,n 
                          0             0    . . . λn

  Доказательство. Пусть u1 — собственный вектор матрицы A,
отвечающий собственному числу λ1 . Собственные векторы матрицы
определяются с точностью до множителя, поэтому можно считать,
что |u1 | = 1 1) .
    Построим в пространстве Cn ортонормированный базис {uk }nk=1
(см. с. 126) и обозначим через U1 матрицу, столбцами которой служат
элементы векторов {uk }nk=1 .
    Вычислим матрицу U1∗ AU1 . Учтем при этом, что Au1 = λ1 u1 ,
а (uk , u1 ) = 0 для k = 2, . . . , n. В результате получим, что
                                         µ       ¶
                                           λ1  ∗
                           U1∗ AU1 =               .             (2.3)
                                           0 A1
Справа в этом равенстве — блочная 2 × 2 матрица. Первый диаго-
нальный блок состоит из одного элемента, равного λ1 . Второй диа-
гональный блок — квадратная матрица размера n − 1. Блок в пози-
ции (2,1) — нулевой столбец длины n − 1. Блок в позиции (1,2) —
строка длины n − 1 с ненулевыми, вообще говоря, элементами. Обо-
значения, аналогичные использованным здесь, будут применяться и
в дальнейшем.
    Матрица U1∗ AU1 подобна матрице A, поэтому (см. теорему 4.4,
с. 164)
                       sp(U1∗ AU1 ) = sp(A).
С другой стороны, из (2.3) вытекает, что sp(U1∗ AU1 ) = λ1 ∪ sp(A1 ).
Для того, чтобы убедиться в этом, нужно разложить по по первому
столбцу определитель det(λI − U1∗ AU1 ). Таким образом,
                             sp(A1 ) = {λ2 , . . . , λn }.
  1)
    Здесь и далее на протяжение этого параграфа под скалярным произведением понимается
стандартное скалярное произведение в пространстве Cn .

Страницы