Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Самосопряженные операторы 171
§ 3. Самосопряженные операторы
1. Напомним, что оператор A, действующий в комплексном ев-
клидовом пространстве X
n
, называется самосопряженным, если
(Ax, y) = (x, Ay) ∀x, y ∈ X
n
. (1.1)
Из (1.1) вытекает, что число (Ax, x) вещественно для любого векто-
ра x ∈ X
n
. В самом деле, вследствие аксиомы 2) скалярного произве-
дения (Ax, x) = (x, Ax), с другой стороны, вследствие тождества (1.1)
имеем (Ax, x) = (x, Ax), т. е. (x, Ax) = (x, Ax).
2. Все собственные числа самосопряженного оператора веще-
ственны. В самом деле, если Ax = λx, где x 6= 0, то (Ax, x) = λ(x, x).
По доказанному (Ax, x) — вещественное число, (x, x) > 0 для любо-
го x 6= 0, значит λ — вещественное число.
3. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвеча-
ющие различным собственным числам ортогональны. Действитель-
но, пусть λ 6= µ — собственные числа самосопряженного опера-
тора A, а x, y — соответствующие им собственные векторы. То-
гда Ax = λx, и Ay = µy, следовательно, (Ax, y) = λ(x, y),
и (x, Ay) = ¯µ(x, y), но у самосопряженного оператора все собствен-
ные числа вещественны, поэтому, вычитая почленно последние равен-
ства, получим (λ − µ)(x, y) = 0, и, поскольку λ 6= µ, то (x, y) = 0.
4. Теорема. Пусть оператор A:X
n
→X
n
самосопряжен. Тогда
существует ортонормированный базис {e
k
}
n
k=1
пространства X
n
такой, что
Ae
k
= λ
k
e
k
, k = 1, . . . , n. (4.1)
Замечание. Иными словами, в этой теореме утверждается, что
для каждого самосопряженного оператора существует ортонормиро-
ванный базис, в котором его матрица принимает диагональный вид,
причем на диагонали матрицы расположены все собственные числа
оператора.
Доказательство теоремы. Выберем некоторый ортонормиро-
ванный базис F
n
= {f
k
}
n
k=1
в пространстве X
n
. Обозначим через A
f
матрицу оператора A в этом базисе. Оператор A самосопряжен, сле-
довательно (см. с. 151), матрица A
f
самосопряжена, т. е.
A
f
= A
∗
f
. (4.2)
§ 3. Самосопряженные операторы                                     171


               § 3. Самосопряженные операторы

   1. Напомним, что оператор A, действующий в комплексном ев-
клидовом пространстве Xn , называется самосопряженным, если
                    (Ax, y) = (x, Ay) ∀ x, y ∈ Xn .              (1.1)
Из (1.1) вытекает, что число (Ax, x) вещественно для любого векто-
ра x ∈ Xn . В самом деле, вследствие аксиомы 2) скалярного произве-
дения (Ax, x) = (x, Ax), с другой стороны, вследствие тождества (1.1)
имеем (Ax, x) = (x, Ax), т. е. (x, Ax) = (x, Ax).
    2. Все собственные числа самосопряженного оператора веще-
ственны. В самом деле, если Ax = λx, где x 6= 0, то (Ax, x) = λ(x, x).
По доказанному (Ax, x) — вещественное число, (x, x) > 0 для любо-
го x 6= 0, значит λ — вещественное число.
    3. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвеча-
ющие различным собственным числам ортогональны. Действитель-
но, пусть λ 6= µ — собственные числа самосопряженного опера-
тора A, а x, y — соответствующие им собственные векторы. То-
гда Ax = λx, и Ay = µy, следовательно, (Ax, y) = λ(x, y),
и (x, Ay) = µ̄(x, y), но у самосопряженного оператора все собствен-
ные числа вещественны, поэтому, вычитая почленно последние равен-
ства, получим (λ − µ)(x, y) = 0, и, поскольку λ 6= µ, то (x, y) = 0.
   4. Теорема. Пусть оператор A : Xn → Xn самосопряжен. Тогда
существует ортонормированный базис {ek }nk=1 пространства Xn
такой, что
                Aek = λk ek , k = 1, . . . , n.          (4.1)


   Замечание. Иными словами, в этой теореме утверждается, что
для каждого самосопряженного оператора существует ортонормиро-
ванный базис, в котором его матрица принимает диагональный вид,
причем на диагонали матрицы расположены все собственные числа
оператора.
   Доказательство теоремы. Выберем некоторый ортонормиро-
ванный базис Fn = {f k }nk=1 в пространстве Xn . Обозначим через Af
матрицу оператора A в этом базисе. Оператор A самосопряжен, сле-
довательно (см. с. 151), матрица Af самосопряжена, т. е.
                                 Af = A∗f .                      (4.2)

Страницы