Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

172 Глава 6. Строение линейного оператора
По теореме Шура существует унитарная матрица U такая, что
U
∗
A
f
U = T, (4.3)
где T — треугольная матрица, диагональ которой состоит из всех
характеристических чисел матрицы A
f
, или, что все равно, всех соб-
ственных чисел оператора A. Как очевидное следствие равенства (4.3)
получаем
U
∗
A
∗
f
U = T
∗
. (4.4)
Из (4.2)–(4.4) вытекает, что T = T
∗
, но верхняя треугольная матрица
может совпадать с нижней треугольной матрицей лишь при условии,
что обе они — диагональные матрицы, причем их соответствующие
диагональные элементы совпадают. Таким, образом матрица T — диа-
гональная матрица. Отсюда сразу следует, что равенство (4.3) можно
записать в виде
A
f
U = UΛ. (4.5)
Здесь Λ — диагональная матрица, ее диагональ образована числа-
ми λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— характеристическими числами оператора A. Ис-
пользуя формулу (3.1), с. 145, получим из (4.5), что
AF
n
U = F
n
UΛ. (4.6)
Положим E
n
= F
n
U. Базис E
n
ортонормирован, так как F
n
— ор-
тонормированный базис, а U — унитарная матрица. Равенство (4.6)
можно представить так:
AE
n
= E
n
Λ. (4.7)
Нетрудно убедиться, что (4.7) есть матричная запись системы ра-
венств (4.1). ¤
5. Вариационное описание собственных чисел самосопряженного
оператора. В этом пункте A : X
n
→ X
n
— самосопряженный опера-
тор, λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— его собственные числа, {e
k
}
n
k=1
— ортонормиро-
ванный базис собственных векторов. Будем считать, что собственные
числа (напомним, что все они вещественны) упорядочены по возрас-
танию, т. е.
λ
1
6 λ
2
··· 6 λ
n
. (5.1)
Подчеркнем, что мы рассматриваем как собственные числа операто-
ра все характеристические числа его матрицы, т. е. кратные харак-
теристические числа повторяются столько раз, какова их кратность,
поэтому, вообще говоря, неравенства в (5.1) являются нестрогими.
172                                   Глава 6. Строение линейного оператора


По теореме Шура существует унитарная матрица U такая, что
                               U ∗ Af U = T,                           (4.3)
где T — треугольная матрица, диагональ которой состоит из всех
характеристических чисел матрицы Af , или, что все равно, всех соб-
ственных чисел оператора A. Как очевидное следствие равенства (4.3)
получаем
                          U ∗ A∗f U = T ∗ .                   (4.4)
Из (4.2)–(4.4) вытекает, что T = T ∗ , но верхняя треугольная матрица
может совпадать с нижней треугольной матрицей лишь при условии,
что обе они — диагональные матрицы, причем их соответствующие
диагональные элементы совпадают. Таким, образом матрица T — диа-
гональная матрица. Отсюда сразу следует, что равенство (4.3) можно
записать в виде
                              Af U = U Λ.                        (4.5)
Здесь Λ — диагональная матрица, ее диагональ образована числа-
ми λ1 , λ2 , . . . , λn — характеристическими числами оператора A. Ис-
пользуя формулу (3.1), с. 145, получим из (4.5), что
                             AFn U = Fn U Λ.                           (4.6)
Положим En = Fn U . Базис En ортонормирован, так как Fn — ор-
тонормированный базис, а U — унитарная матрица. Равенство (4.6)
можно представить так:
                          AEn = En Λ.                     (4.7)
Нетрудно убедиться, что (4.7) есть матричная запись системы ра-
венств (4.1). ¤
    5. Вариационное описание собственных чисел самосопряженного
оператора. В этом пункте A : Xn → Xn — самосопряженный опера-
тор, λ1 , λ2 , . . . , λn — его собственные числа, {ek }nk=1 — ортонормиро-
ванный базис собственных векторов. Будем считать, что собственные
числа (напомним, что все они вещественны) упорядочены по возрас-
танию, т. е.
                                 λ1 6 λ2 · · · 6 λn .                  (5.1)
Подчеркнем, что мы рассматриваем как собственные числа операто-
ра все характеристические числа его матрицы, т. е. кратные харак-
теристические числа повторяются столько раз, какова их кратность,
поэтому, вообще говоря, неравенства в (5.1) являются нестрогими.

Страницы