Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

174 Глава 6. Строение линейного оператора
Теорема 5.2 имеет тот недостаток, что при отыскании собственно-
го числа с номером k нужно знать собственные векторы, отвечающие
всем собственным числам с меньшими номерами.
Следующие две теоремы дают независимое описание каждого соб-
ственного числа самосопряженного оператора A.
5.3. Теорема. Для самосопряженного оператора A : X
n
→ X
n
λ
k
= max
R
n−k+1
min
x∈R
n−k+1
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
, k = 1, . . . , n. (5.6)
Здесь R
n−k+1
⊂ X
n
— подпространство размерности n −k + 1. Мак-
симум берется по всем подпространствам размерности n − k + 1.
Доказательство. Обозначим через S
k
⊂ X
n
подпространство,
натянутое на векторы {e
j
}
k
j=1
. Точно так же, как при доказательстве
теоремы 5.1, проверяется, что для любого, не равного нулю, векто-
ра x ∈ S
k
выполнено неравенство (Ax, x)/(x, x) 6 λ
k
. Далее, сумма
размерностей подпространств R
n−k+1
и S
k
равна n + 1 > n, поэтому
(см. с. 134) существует вектор x
0
6= 0, принадлежащий R
n−k+1
∩ S
k
.
Таким образом, в каждом подпространстве R
n−k+1
найдется ненуле-
вой вектор x, для которого (Ax, x)/(x, x) 6 λ
k
. Следовательно, для
любого подпространства R
n−k+1
min
x∈R
n−k+1
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
6 λ
k
.
Если мы укажем такое подпространство R
n−k+1
, для которого
min
x∈R
n−k+1
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
= λ
k
,
то это будет означать выполнение равенства (5.6). Искомым подпро-
странством R
n−k+1
, очевидно, является подпространство, натянутое
на векторы {e
j
}
n
j=k
. ¤
5.4. Теорема. Для самосопряженного оператора A : X
n
→ X
n
λ
k
= min
R
k
max
x∈R
k
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
, k = 1, . . . , n. (5.7)
Здесь R
k
⊂ X
n
— подпространство размерности k. Минимум бе-
рется по всем подпространствам размерности k.
Доказательство. Пусть L
k
⊂ X
n
— подпространство, вве-
денное в теореме 5.2. Непосредственно из определения L
k
вытекает,
174                                     Глава 6. Строение линейного оператора


    Теорема 5.2 имеет тот недостаток, что при отыскании собственно-
го числа с номером k нужно знать собственные векторы, отвечающие
всем собственным числам с меньшими номерами.
    Следующие две теоремы дают независимое описание каждого соб-
ственного числа самосопряженного оператора A.
      5.3. Теорема. Для самосопряженного оператора A : Xn → Xn
                                        (Ax, x)
           λk = max        min                  ,   k = 1, . . . , n.   (5.6)
                Rn−k+1 x∈Rn−k+1 ,   x6=0 (x, x)

Здесь Rn−k+1 ⊂ Xn — подпространство размерности n − k + 1. Мак-
симум берется по всем подпространствам размерности n − k + 1.
    Доказательство. Обозначим через Sk ⊂ Xn подпространство,
натянутое на векторы {ej }kj=1 . Точно так же, как при доказательстве
теоремы 5.1, проверяется, что для любого, не равного нулю, векто-
ра x ∈ Sk выполнено неравенство (Ax, x)/(x, x) 6 λk . Далее, сумма
размерностей подпространств Rn−k+1 и Sk равна n + 1 > n, поэтому
(см. с. 134) существует вектор x0 6= 0, принадлежащий Rn−k+1 ∩ Sk .
Таким образом, в каждом подпространстве Rn−k+1 найдется ненуле-
вой вектор x, для которого (Ax, x)/(x, x) 6 λk . Следовательно, для
любого подпространства Rn−k+1
                                        (Ax, x)
                            min                 6 λk .
                       x∈Rn−k+1 ,   x6=0 (x, x)

Если мы укажем такое подпространство Rn−k+1 , для которого
                                        (Ax, x)
                            min                 = λk ,
                       x∈Rn−k+1 ,   x6=0 (x, x)

то это будет означать выполнение равенства (5.6). Искомым подпро-
странством Rn−k+1 , очевидно, является подпространство, натянутое
на векторы {ej }nj=k . ¤

      5.4. Теорема. Для самосопряженного оператора A : Xn → Xn
                                    (Ax, x)
              λk = min    max               ,   k = 1, . . . , n.       (5.7)
                    Rk x∈Rk ,   x6=0 (x, x)

Здесь Rk ⊂ Xn — подпространство размерности k. Минимум бе-
рется по всем подпространствам размерности k.
   Доказательство. Пусть Lk ⊂ Xn — подпространство, вве-
денное в теореме 5.2. Непосредственно из определения Lk вытекает,

Страницы