Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

176 Глава 6. Строение линейного оператора
Здесь минимум берется по всевозможным подпространствам R
k+1
пространства C
n+1
, размерности k + 1.
Обозначим через R
k
⊂ C
n
множество векторов из R
k+1
, (n + 1)-я
компонента которых в естественном базисе равна нулю. Тогда
max
x∈R
k+1
, x6=0
(A
n+1
x, x)
(x, x)
> max
x∈R
k
, x6=0
(A
n
x, x)
(x, x)
.
Для обоснования этого неравенства достаточно заметить, что слева
максимум берется по более широкому множеству векторов. Таким
образом, из (7.2) получаем
ˆ
λ
k+1
= min
R
k+1
max
x∈R
k+1
, x6=0
(A
n+1
x, x)
(x, x)
> min
R
k
max
x∈R
k
, x6=0
(A
n
x, x)
(x, x)
,
но правая часть этого неравенства по теореме 5.4 равна λ
k
. Итак,
ˆ
λ
k+1
> λ
k
для всех k = 1, 2, . . . , n.
Обратимся теперь к теореме 5.3, в соответствии с которой
ˆ
λ
k
= max
R
n+2−k
min
x∈R
n+2−k
, x6=0
(A
n+1
x, x)
(x, x)
. (7.3)
Здесь максимум берется по всевозможным подпространствам R
n+2−k
пространства C
n+1
, размерности n + 2 − k. При сужении множества
векторов, по которому вычисляется минимум, последний не может
уменьшиться, поэтому по аналогии с предыдущим случаем можем
написать, что
ˆ
λ
k
= max
R
n+2−k
min
x∈R
n+2−k
, x6=0
(A
n+1
x, x)
(x, x)
6
6 max
R
n+1−k
min
x∈R
n+1−k
, x6=0
(A
n
x, x)
(x, x)
= λ
k
. (7.4)
Таким образом, неравенства (7.1) доказаны. ¤
§ 4. Унитарные операторы
Напомним, что оператор A : X
n
→ X
n
называется унитарным,
если AA
∗
= A
∗
A = I.
Все собственные числа унитарного оператора по модулю равны
единице. В самом деле, если Ax = λx, где x 6= 0, то посколь-
ку унитарный оператор не меняет длины вектора (см. с. 152), име-
ем |λ||x| = |Ax| = |x|, т. е. |λ| = 1.
176                                       Глава 6. Строение линейного оператора


Здесь минимум берется по всевозможным подпространствам R k+1
пространства Cn+1 , размерности k + 1.
   Обозначим через Rk ⊂ Cn множество векторов из Rk+1 , (n + 1)-я
компонента которых в естественном базисе равна нулю. Тогда
                              (An+1 x, x)             (An x, x)
                  max                     > max                 .
              x∈Rk+1 ,   x6=0   (x, x)     x∈Rk , x6=0 (x, x)

Для обоснования этого неравенства достаточно заметить, что слева
максимум берется по более широкому множеству векторов. Таким
образом, из (7.2) получаем
                                   (An+1 x, x)                 (An x, x)
      λ̂k+1 = min        max                   > min max                 ,
              Rk+1 x∈Rk+1 ,   x6=0   (x, x)      Rk x∈Rk , x6=0 (x, x)

но правая часть этого неравенства по теореме 5.4 равна λk . Итак,
λ̂k+1 > λk для всех k = 1, 2, . . . , n.
    Обратимся теперь к теореме 5.3, в соответствии с которой
                                                    (An+1 x, x)
                  λ̂k = max            min                      .            (7.3)
                           Rn+2−k x∈Rn+2−k ,   x6=0   (x, x)
Здесь максимум берется по всевозможным подпространствам R n+2−k
пространства Cn+1 , размерности n + 2 − k. При сужении множества
векторов, по которому вычисляется минимум, последний не может
уменьшиться, поэтому по аналогии с предыдущим случаем можем
написать, что

                               (An+1 x, x)
 λ̂k = max        min                      6
      Rn+2−k x∈Rn+2−k ,   x6=0   (x, x)
                                                            (An x, x)
                                  6 max           min                 = λk . (7.4)
                                    Rn+1−k x∈Rn+1−k ,   x6=0 (x, x)

Таким образом, неравенства (7.1) доказаны. ¤

                     § 4. Унитарные операторы

    Напомним, что оператор A : Xn → Xn называется унитарным,
если AA∗ = A∗ A = I.
    Все собственные числа унитарного оператора по модулю равны
единице. В самом деле, если Ax = λx, где x 6= 0, то посколь-
ку унитарный оператор не меняет длины вектора (см. с. 152), име-
ем |λ||x| = |Ax| = |x|, т. е. |λ| = 1.

Страницы