Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

178 Глава 6. Строение линейного оператора
Оператор A
T
называется транспонированным по отношению к
оператору A, если
(Ax, y) = (x, A
T
y) ∀x, y ∈ X
n
.
В любом ортонормированном базисе матрицы операторов A и A
T
вза-
имно транспонированы.
1. Ортогональные операторы. Оператор A называется ортого-
нальным, если A
T
A = AA
T
= I. Для того, чтобы оператор был
ортогонален необходимо и достаточно, чтобы его матрица была ор-
тогональной (определение см. на с. 89) в любом ортонормированном
базисе.
Для того, чтобы оператор A был ортогональным, необходимо и
достаточно, чтобы
(Ax, Ay) = (x, y) ∀x, y ∈ X
n
.
Таким образом, ортогональный оператор не меняет длин векторов
и углов между векторами. Определитель ортогонального оператора
равен плюс или минус единице. Ортогональные операторы с опре-
делителем, равным единице, называют собственными, в противном
случае — несобственными.
Собственным числом ортогонального оператора может быть толь-
ко плюс или минус единица.
2. Исследуем строение ортогональных операторов в одномерном
и двумерном пространствах. Как будет показано впоследствии, эти
результаты имеют решающее значение при рассмотрения ортогональ-
ных операторов в пространствах произвольной размерности.
2.1. Одномерное пространство. Понятно, что образом любого
вектора x при действии любого линейного оператора A в этом случае
может быть только вектор λx, где λ — вещественное число. Как толь-
ко что было сказано, для ортогонального оператора λ = ±1. Таким
образом, в одномерном случае есть только два ортогональных пре-
образования: собственное Ax = x (тождественное преобразование)
и несобственное Ax = −x (отражение относительно начала коорди-
нат).
2.2. Обратимся теперь к двумерному случаю. Пусть
A
e
=
µ
α γ
β δ
(2.1)
178                                Глава 6. Строение линейного оператора


   Оператор AT называется транспонированным по отношению к
оператору A, если
                   (Ax, y) = (x, AT y) ∀ x, y ∈ Xn .
В любом ортонормированном базисе матрицы операторов A и AT вза-
имно транспонированы.
    1. Ортогональные операторы. Оператор A называется ортого-
нальным, если AT A = AAT = I. Для того, чтобы оператор был
ортогонален необходимо и достаточно, чтобы его матрица была ор-
тогональной (определение см. на с. 89) в любом ортонормированном
базисе.
    Для того, чтобы оператор A был ортогональным, необходимо и
достаточно, чтобы
                   (Ax, Ay) = (x, y) ∀ x, y ∈ Xn .
    Таким образом, ортогональный оператор не меняет длин векторов
и углов между векторами. Определитель ортогонального оператора
равен плюс или минус единице. Ортогональные операторы с опре-
делителем, равным единице, называют собственными, в противном
случае — несобственными.
    Собственным числом ортогонального оператора может быть толь-
ко плюс или минус единица.
    2. Исследуем строение ортогональных операторов в одномерном
и двумерном пространствах. Как будет показано впоследствии, эти
результаты имеют решающее значение при рассмотрения ортогональ-
ных операторов в пространствах произвольной размерности.
    2.1. Одномерное пространство. Понятно, что образом любого
вектора x при действии любого линейного оператора A в этом случае
может быть только вектор λx, где λ — вещественное число. Как толь-
ко что было сказано, для ортогонального оператора λ = ±1. Таким
образом, в одномерном случае есть только два ортогональных пре-
образования: собственное Ax = x (тождественное преобразование)
и несобственное Ax = −x (отражение относительно начала коорди-
нат).
      2.2. Обратимся теперь к двумерному случаю. Пусть
                                 µ     ¶
                                   α γ
                            Ae =                                   (2.1)
                                   β δ

Страницы