Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

180 Глава 6. Строение линейного оператора
Полученным результатам полезно дать геометрическую интер-
претацию. Пусть A — собственное ортогональное преобразование, e
1
,
e
2
— произвольный ортонормированный базис, x — вектор с коорди-
натами (ξ
1
, ξ
2
) в базисе e
1
, e
2
. В соответствии с (2.5) вектор Ax имеет
координаты (ξ
1
cos ϕ − ξ
2
sin ϕ, ξ
1
sin ϕ + ξ
2
cos ϕ). Нетрудно подсчи-
тать, что (x, Ax) = |x||Ax|cos ϕ, следовательно, преобразованием A
любой вектор x поворачивается на один и тот же угол ϕ. Легко прове-
рить, что поворот выполняется в направлении кратчайшего поворота
от вектора e
1
к вектору e
2
.
Если A — несобственное ортогональное преобразование, а e
1
, e
2
—
ортонормированный базис, в котором матрица оператора A имеет
вид (2.7), то для любого вектора x = ξ
1
e
1
+ξ
2
e
2
имеем Ax = ξ
1
e
1
−ξ
2
e
2
,
т. е. оператор A осуществляет зеркальное отражение относительно
координатной оси ξ
1
.
Матрицу вида (2.5) принято называть матрицей вращения, а мат-
рицу (2.7) — матрицей отражения.
3. Переходим к рассмотрению ортогонального преобразования в
пространстве X
n
произвольной размерности. В основе этого исследо-
вания лежит
3.1. Лемма. Пусть A : X
n
→ X
n
— ортогональный оператор,
L — инвариантное подпространство оператора A, L
⊥
— ортого-
нальное дополнение подпространства L. Тогда L
⊥
также инвари-
антное подпространство оператора A.
Доказательство. Пусть y ∈ L
⊥
, т. е. (x, y) = 0 для любо-
го x ∈ L. Покажем, что тогда (x, Ay) = 0 для любого x ∈ L. Под-
пространство L инвариантно относительно A, ортогональный опера-
тор невырожден, поэтому по лемме 3, с. 161, найдется z ∈ L такой,
что x = Az, следовательно, (x, Ay) = (Az, Ay) = (z, y) = 0. ¤
3.2. Теорема. Пусть A — ортогональное преобразование про-
странства X
n
. Существует ортонормированный базис {e
k
}
n
k=1
про-
странства X
n
, в котором матрица оператора A имеет блочно диа-
гональный вид
A
e
=
A
1
A
2
.
.
.
A
k
. (3.1)
Блоки этой матрицы могут иметь либо размер 1 × 1, либо раз-
мер 2 ×2; блоки размера 1 ×1 — это числа, равные плюс или минус
180                                   Глава 6. Строение линейного оператора


    Полученным результатам полезно дать геометрическую интер-
претацию. Пусть A — собственное ортогональное преобразование, e1 ,
e2 — произвольный ортонормированный базис, x — вектор с коорди-
натами (ξ1 , ξ2 ) в базисе e1 , e2 . В соответствии с (2.5) вектор Ax имеет
координаты (ξ1 cos ϕ − ξ2 sin ϕ, ξ1 sin ϕ + ξ2 cos ϕ). Нетрудно подсчи-
тать, что (x, Ax) = |x||Ax| cos ϕ, следовательно, преобразованием A
любой вектор x поворачивается на один и тот же угол ϕ. Легко прове-
рить, что поворот выполняется в направлении кратчайшего поворота
от вектора e1 к вектору e2 .
    Если A — несобственное ортогональное преобразование, а e1 , e2 —
ортонормированный базис, в котором матрица оператора A имеет
вид (2.7), то для любого вектора x = ξ1 e1 +ξ2 e2 имеем Ax = ξ1 e1 −ξ2 e2 ,
т. е. оператор A осуществляет зеркальное отражение относительно
координатной оси ξ1 .
    Матрицу вида (2.5) принято называть матрицей вращения, а мат-
рицу (2.7) — матрицей отражения.
   3. Переходим к рассмотрению ортогонального преобразования в
пространстве Xn произвольной размерности. В основе этого исследо-
вания лежит
   3.1. Лемма. Пусть A : Xn → Xn — ортогональный оператор,
L — инвариантное подпространство оператора A, L⊥ — ортого-
нальное дополнение подпространства L. Тогда L⊥ также инвари-
антное подпространство оператора A.
    Доказательство. Пусть y ∈ L⊥ , т. е. (x, y) = 0 для любо-
го x ∈ L. Покажем, что тогда (x, Ay) = 0 для любого x ∈ L. Под-
пространство L инвариантно относительно A, ортогональный опера-
тор невырожден, поэтому по лемме 3, с. 161, найдется z ∈ L такой,
что x = Az, следовательно, (x, Ay) = (Az, Ay) = (z, y) = 0. ¤

    3.2. Теорема. Пусть A — ортогональное преобразование про-
странства Xn . Существует ортонормированный базис {ek }nk=1 про-
странства Xn , в котором матрица оператора A имеет блочно диа-
гональный вид                            
                           A1
                             A2          
                    Ae = 
                                 . ..
                                          .
                                                           (3.1)
                                       Ak
Блоки этой матрицы могут иметь либо размер 1 × 1, либо раз-
мер 2 × 2; блоки размера 1 × 1 — это числа, равные плюс или минус

Страницы