Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве 181
единице, блоки размера 2 × 2 суть матрицы вращения
A
p
=
µ
cos ϕ
p
−sin ϕ
p
sin ϕ
p
cos ϕ
p
.
Доказательство. Как установлено в пункте 4.5, § 1, преобра-
зование A имеет либо одномерное, либо двумерное инвариантное под-
пространство L ⊂ X
n
. Пусть L одномерно и e
1,1
единичный вектор
из L, тогда Ae
1,1
= ±e
1,1
, поскольку A — ортогональный оператор.
Если L двумерно, то, как показано в п. 2.2, существует ортонормиро-
ванный базис e
1,1
, e
2,1
∈ L такой, что
Ae
1,1
= cos(ϕ
1
)e
1,1
+ sin(ϕ
1
)e
2,1
, Ae
2,1
= −sin(ϕ
1
)e
1,1
+ cos(ϕ
1
)e
2,1
.
Рассмотрим теперь ортогональное дополнение L
⊥
подпространства L.
По лемме 3.1 оно инвариантно относительно оператора A, поэто-
му применительно к L
⊥
можно повторить предыдущие рассужде-
ния и указать либо один нормированный вектор e
1,2
∈ L
⊥
, такой,
что Ae
1,2
= ±e
1,2
, либо два ортогональных единичных вектора e
1,2
,
e
2,2
∈ L
⊥
таких, что
Ae
1,2
= cos(ϕ
2
)e
1,2
+ sin(ϕ
2
)e
2,2
, Ae
2,2
= −sin(ϕ
2
)e
1,2
+ cos(ϕ
2
)e
2,2
.
Продолжая этот процесс, т. е. последовательно понижая размерность
подпространства, в котором рассматривается оператор A, мы постро-
им ортонормированный базис пространства X
n
, в котором матрица
оператора A примет вид, описанный в формулировке теоремы. ¤
Геометрическая интерпретация полученного результата очевидна:
пространство X
n
распадается на ортогональную сумму одномерных и
двумерных инвариантных подпространств оператора A. В двумерных
подпространствах оператор A выполняет поворот, в каждом на свой
угол, а в одномерных, самое большее, может измениться направление
координатной оси.
Упражнение. Дайте полное описание ортогональных преобра-
зований в трехмерном евклидовом пространстве.
4. Самосопряженные операторы в вещественном евклидовом
пространстве. Оператор, действующий в вещественном евклидовом
пространстве, называется самосопряженным, если A = A
T
.
Все результаты, полученные выше для самосопряженных опера-
торов, действующих в комплексном евклидовом пространстве, без
каких либо изменений переносятся на самосопряженные операторы,
действующие в вещественном евклидовом пространстве.
§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве                       181


единице, блоки размера 2 × 2 суть матрицы вращения
                          µ                 ¶
                            cos ϕp − sin ϕp
                     Ap =                     .
                            sin ϕp   cos ϕp

    Доказательство. Как установлено в пункте 4.5, § 1, преобра-
зование A имеет либо одномерное, либо двумерное инвариантное под-
пространство L ⊂ Xn . Пусть L одномерно и e1,1 единичный вектор
из L, тогда Ae1,1 = ±e1,1 , поскольку A — ортогональный оператор.
Если L двумерно, то, как показано в п. 2.2, существует ортонормиро-
ванный базис e1,1 , e2,1 ∈ L такой, что
 Ae1,1 = cos(ϕ1 )e1,1 + sin(ϕ1 )e2,1 , Ae2,1 = − sin(ϕ1 )e1,1 + cos(ϕ1 )e2,1 .
Рассмотрим теперь ортогональное дополнение L⊥ подпространства L.
По лемме 3.1 оно инвариантно относительно оператора A, поэто-
му применительно к L⊥ можно повторить предыдущие рассужде-
ния и указать либо один нормированный вектор e1,2 ∈ L⊥ , такой,
что Ae1,2 = ±e1,2 , либо два ортогональных единичных вектора e1,2 ,
e2,2 ∈ L⊥ таких, что
 Ae1,2 = cos(ϕ2 )e1,2 + sin(ϕ2 )e2,2 , Ae2,2 = − sin(ϕ2 )e1,2 + cos(ϕ2 )e2,2 .
Продолжая этот процесс, т. е. последовательно понижая размерность
подпространства, в котором рассматривается оператор A, мы постро-
им ортонормированный базис пространства Xn , в котором матрица
оператора A примет вид, описанный в формулировке теоремы. ¤
   Геометрическая интерпретация полученного результата очевидна:
пространство Xn распадается на ортогональную сумму одномерных и
двумерных инвариантных подпространств оператора A. В двумерных
подпространствах оператор A выполняет поворот, в каждом на свой
угол, а в одномерных, самое большее, может измениться направление
координатной оси.
    Упражнение. Дайте полное описание ортогональных преобра-
зований в трехмерном евклидовом пространстве.
   4. Самосопряженные операторы в вещественном евклидовом
пространстве. Оператор, действующий в вещественном евклидовом
пространстве, называется самосопряженным, если A = AT .
   Все результаты, полученные выше для самосопряженных опера-
торов, действующих в комплексном евклидовом пространстве, без
каких либо изменений переносятся на самосопряженные операторы,
действующие в вещественном евклидовом пространстве.

Страницы