Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 7
Квадратичные формы
§ 1. Канонический вид квадратичной формы
1. Квадратичной формой называют вещественную функцию F
от n вещественных переменных x
1
, x
2
, . . . , x
n
вида
F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
n
X
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
. (1.1)
Заданные вещественные числа a
ij
называют коэффициентами квад-
ратичной формы. Их можно считать удовлетворяющими условиям
симметрии a
ij
= a
ji
, i, j = 1, 2, . . . , n, поскольку, слагаемые в квад-
ратичной форме, содержащие коэффициенты a
ij
, a
ji
, можно предста-
вить так:
a
ij
x
i
x
j
+ a
ji
x
j
x
i
=
a
ij
+ a
ji
2
x
i
x
j
+
a
ij
+ a
ji
2
x
j
x
i
.
Запишем квадратичную форму в более компактном виде. Пусть
A — симметричная матрица с элементами a
ij
, i, j = 1, 2, . . . , n. Век-
тор x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) будем считать элементом пространства R
n
.
Тогда F (x) = (Ax, x). Здесь и всюду на протяжении данной главы
скобки обозначают стандартное скалярное произведение в простран-
стве R
n
.
Пусть в квадратичной форме выполнена замена переменных, т. е.
введены новые переменные y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
), связанные со старыми
переменными x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) соотношением
x = Qy, (1.2)
где Q — невырожденная матрица, называемая матрицей преобразо-
вания переменных. Выполнив замену переменных (1.2), получим
(Ax, x) = (AQy, Qy) = (Q
T
AQy, y) = (By, y) =
n
X
i,j=1
b
ij
y
i
y
j
,
где через B обозначена матрица Q
T
AQ. Чаще всего, матрицу Q стре-
мятся подобрать так, чтобы квадратичная форма в новых перемен-
ных приобрела наиболее простой вид.
                                   Глава 7
                    Квадратичные формы

         § 1. Канонический вид квадратичной формы

    1. Квадратичной формой называют вещественную функцию F
от n вещественных переменных x1 , x2 , . . . , xn вида
                                                  n
                                                  X
                    F (x1 , x2 , . . . , xn ) =           aij xi xj .                         (1.1)
                                                  i,j=1

Заданные вещественные числа aij называют коэффициентами квад-
ратичной формы. Их можно считать удовлетворяющими условиям
симметрии aij = aji , i, j = 1, 2, . . . , n, поскольку, слагаемые в квад-
ратичной форме, содержащие коэффициенты aij , aji , можно предста-
вить так:
                                     aij + aji         aij + aji
           aij xi xj + aji xj xi =             xi xj +           xj xi .
                                         2                 2
    Запишем квадратичную форму в более компактном виде. Пусть
A — симметричная матрица с элементами aij , i, j = 1, 2, . . . , n. Век-
тор x = (x1 , x2 , . . . , xn ) будем считать элементом пространства Rn .
Тогда F (x) = (Ax, x). Здесь и всюду на протяжении данной главы
скобки обозначают стандартное скалярное произведение в простран-
стве Rn .
    Пусть в квадратичной форме выполнена замена переменных, т. е.
введены новые переменные y = (y1 , y2 , . . . , yn ), связанные со старыми
переменными x = (x1 , x2 , . . . , xn ) соотношением
                                    x = Qy,                                                   (1.2)
где Q — невырожденная матрица, называемая матрицей преобразо-
вания переменных. Выполнив замену переменных (1.2), получим
                                                                        n
                                                                        X
                                     T
     (Ax, x) = (AQy, Qy) = (Q AQy, y) = (By, y) =                               bij yi yj ,
                                                                        i,j=1

где через B обозначена матрица QT AQ. Чаще всего, матрицу Q стре-
мятся подобрать так, чтобы квадратичная форма в новых перемен-
ных приобрела наиболее простой вид.

Страницы