ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 1. Канонический вид квадратичной формы 185
Тогда
F = a
−1
11
y
2
1
+ G(y
2
, . . . , y
n
), (3.3)
где G(y
2
, . . . , y
n
) — квадратичная форма от переменных y
2
, . . . , y
n
.
Матрица замены переменных (3.2) невырождена, так как ее опре-
делитель равен a
11
, а по предположению a
11
6= 0.
Пусть теперь все коэффициенты при квадратах переменных
в (1.1) равны нулю. Тогда будем считать, что хотя бы один коэффи-
циент при произведениях переменных отличен от нуля, иначе квад-
ратичная форма тождественно равна нулю и она имеет тривиальный
канонический вид: все коэффициенты при квадратах неизвестных —
нули. Итак, примем для определенности, что a
12
6= 0, и выполним
преобразование переменных по формулам
x
1
= z
1
− z
2
, x
2
= z
1
+ z
2
, x
3
= z
3
, . . . , x
n
= z
n
. (3.4)
Заметим, во-первых, что определитель матрицы преобразования (3.4)
равен двум, а во-вторых, что 2a
12
x
1
x
2
= 2a
12
z
2
1
−2a
12
z
2
2
, следователь-
но, в квадратичной форме появились слагаемые, содержащие квад-
раты переменных, поэтому, повторяя рассуждения предыдущего слу-
чая, при помощи невырожденной замены переменных приведем квад-
ратичную форму к виду
F = αy
2
1
+ G(y
2
, . . . , y
n
), (3.5)
Таким образом, выполняя одно или два последовательных невы-
рожденных преобразования переменных, квадратичную форму (1.1)
можно привести к виду (3.5).
Аналогичными преобразованиями переменных выделим полный
квадрат в квадратичной форме G(y
2
, . . . , y
n
). Продолжая преобра-
зования, в конце концов приведем квадратичную форму (1.1) к сумме
квадратов.
Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму
F (x
1
, x
2
, x
3
) = 2x
1
x
2
− 6x
2
x
3
+ 2x
3
x
1
. (3.6)
Поскольку в этой форме отсутствуют квадраты переменных, выполним сначала преоб-
разование переменных
x
1
= y
1
− y
2
, x
2
= y
1
+ y
2
, x
3
= y
3
.
Получим
F = 2y
2
1
− 4y
1
y
3
− 2y
2
2
− 8y
2
y
3
.
Положим теперь
z
1
= y
1
− y
3
, z
2
= y
2
, z
3
= y
3
.
Тогда
F = 2z
2
1
− 2z
2
2
− 8z
2
z
3
− 2z
2
3
= 2z
2
1
− 2(z
2
2
+ 4z
2
z
3
) −2z
2
3
.
§ 1. Канонический вид квадратичной формы 185
Тогда
F = a−1 2
11 y1 + G(y2 , . . . , yn ), (3.3)
где G(y2 , . . . , yn ) — квадратичная форма от переменных y2 , . . . , yn .
Матрица замены переменных (3.2) невырождена, так как ее опре-
делитель равен a11 , а по предположению a11 6= 0.
Пусть теперь все коэффициенты при квадратах переменных
в (1.1) равны нулю. Тогда будем считать, что хотя бы один коэффи-
циент при произведениях переменных отличен от нуля, иначе квад-
ратичная форма тождественно равна нулю и она имеет тривиальный
канонический вид : все коэффициенты при квадратах неизвестных —
нули. Итак, примем для определенности, что a12 6= 0, и выполним
преобразование переменных по формулам
x1 = z 1 − z 2 , x 2 = z 1 + z 2 , x 3 = z 3 , . . . , x n = z n . (3.4)
Заметим, во-первых, что определитель матрицы преобразования (3.4)
равен двум, а во-вторых, что 2a12 x1 x2 = 2a12 z12 − 2a12 z22 , следователь-
но, в квадратичной форме появились слагаемые, содержащие квад-
раты переменных, поэтому, повторяя рассуждения предыдущего слу-
чая, при помощи невырожденной замены переменных приведем квад-
ратичную форму к виду
F = αy12 + G(y2 , . . . , yn ), (3.5)
Таким образом, выполняя одно или два последовательных невы-
рожденных преобразования переменных, квадратичную форму (1.1)
можно привести к виду (3.5).
Аналогичными преобразованиями переменных выделим полный
квадрат в квадратичной форме G(y2 , . . . , yn ). Продолжая преобра-
зования, в конце концов приведем квадратичную форму (1.1) к сумме
квадратов.
Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму
F (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 . (3.6)
Поскольку в этой форме отсутствуют квадраты переменных, выполним сначала преоб-
разование переменных
x1 = y 1 − y 2 , x2 = y 1 + y 2 , x3 = y 3 .
Получим
F = 2y12 − 4y1 y3 − 2y22 − 8y2 y3 .
Положим теперь
z1 = y 1 − y 3 , z2 = y 2 , z3 = y 3 .
Тогда
F = 2z12 − 2z22 − 8z2 z3 − 2z32 = 2z12 − 2(z22 + 4z2 z3 ) − 2z32 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- …
- следующая ›
- последняя »
