Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Канонический вид квадратичной формы 187
4.1. Теорема. Для того, чтобы матрицы A и B были конгру-
энтными необходимо и достаточно, чтобы их инерции совпадали.
Доказательство. Д о с т а т о ч н о с т ь. Как было показано
выше, для всякой симметричной матрицы A можно указать ортого-
нальную матрицу Q такую, что
(Ax, x) = (Q
T
AQy, y) =
n
X
i=1
λ
i
y
2
i
, (4.2)
где λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— собственные числа матрицы A. Заметим, что
n
X
i=1
λ
i
y
2
i
=
n
X
i=1
sgn(λ
i
)|λ
i
|y
2
i
=
n
X
i=1
sgn(λ
i
)(
p
|λ
i
|y
i
)
2
=
=
n
X
i=1
sgn(λ
i
)t
2
i
=
n
+
(A)
X
i=1
t
2
i
−
n
−
(A)
X
i=n
+
+1
t
2
i
. (4.3)
Эти преобразования можно трактовать как невырожденную замену
переменных: t
i
=
p
|λ
i
|y
i
, если λ
i
6= 0 и t
i
= y
i
, если λ
i
= 0.
Таким образом, установлено, что всякая симметричная матрица A
конгруэнтна диагональной матрице, у которой на диагонали n
+
(A)
единиц, n
−
(A) минус единиц, остальные элементы главной диагона-
ли — нули. Если симметричная матрица B имеет инерцию, равную
инерции матрицы A, то она конгруэнтна точно такой же диагональ-
ной матрице. Отношение конгруэнтности, как нетрудно убедиться,
транзитивно, следовательно, матрицы A и B конгруэнтны.
Н е о б х о д и м о с т ь. Заметим, прежде всего, что у когруэнтных
матриц ранги, очевидно, совпадают. Кроме того, для любой симмет-
ричной матрицы A справедливо равенство rank(A) = n
+
(A) + n
−
(A).
Действительно, всякая симметричная матрица A подобна диагональ-
ной матрице, у которой по диагонали расположены все собственные
числа матрицы A. Из этих рассуждений вытекает, что если матри-
цы A и B конгруэнтны, то n
+
(A) + n
−
(A) = n
+
(B) + n
−
(B).
Таким образом, для завершения доказательства теоремы доста-
точно установить, что если матрицы A, B конгруэнтны, то
n
+
(A) = n
+
(B). (4.4)
Пусть λ
n−n
n
+
+1
6 . . . 6 λ
n
— положительные собственные
числа матрицы A, а e
n−n
n
+
+1
, . . . , e
n
— соответствующие им ор-
тонормированные собственные векторы этой матрицы. По предпо-
ложению теоремы B = C
T
AC, где C — невырожденная матрица,
§ 1. Канонический вид квадратичной формы                                                                   187


   4.1. Теорема. Для того, чтобы матрицы A и B были конгру-
энтными необходимо и достаточно, чтобы их инерции совпадали.
   Доказательство. Д о с т а т о ч н о с т ь. Как было показано
выше, для всякой симметричной матрицы A можно указать ортого-
нальную матрицу Q такую, что
                                                                  n
                                                                  X
                                              T
                             (Ax, x) = (Q AQy, y) =                       λi yi2 ,                       (4.2)
                                                                    i=1

где λ1 , λ2 , . . . , λn — собственные числа матрицы A. Заметим, что
  n
  X                  n
                     X                            n
                                                  X                 p
        λi yi2   =         sgn(λi )|λi |yi2   =         sgn(λi )(    |λi |yi )2 =
  i=1                i=1                          i=1
                                              n                       n+ (A)              n− (A)
                                              X                           X                X
                                         =          sgn(λi )t2i   =             t2i   −             t2i . (4.3)
                                              i=1                         i=1             i=n+ +1

Эти преобразования p можно трактовать как невырожденную замену
переменных: ti = |λi |yi , если λi 6= 0 и ti = yi , если λi = 0.
   Таким образом, установлено, что всякая симметричная матрица A
конгруэнтна диагональной матрице, у которой на диагонали n+ (A)
единиц, n− (A) минус единиц, остальные элементы главной диагона-
ли — нули. Если симметричная матрица B имеет инерцию, равную
инерции матрицы A, то она конгруэнтна точно такой же диагональ-
ной матрице. Отношение конгруэнтности, как нетрудно убедиться,
транзитивно, следовательно, матрицы A и B конгруэнтны.
   Н е о б х о д и м о с т ь. Заметим, прежде всего, что у когруэнтных
матриц ранги, очевидно, совпадают. Кроме того, для любой симмет-
ричной матрицы A справедливо равенство rank(A) = n+ (A) + n− (A).
Действительно, всякая симметричная матрица A подобна диагональ-
ной матрице, у которой по диагонали расположены все собственные
числа матрицы A. Из этих рассуждений вытекает, что если матри-
цы A и B конгруэнтны, то n+ (A) + n− (A) = n+ (B) + n− (B).
   Таким образом, для завершения доказательства теоремы доста-
точно установить, что если матрицы A, B конгруэнтны, то
                                        n+ (A) = n+ (B).                                                 (4.4)
   Пусть λn−nn+ +1 6 . . . 6 λn — положительные собственные
числа матрицы A, а en−nn+ +1 , . . . , en — соответствующие им ор-
тонормированные собственные векторы этой матрицы. По предпо-
ложению теоремы B = C T AC, где C — невырожденная матрица,

Страницы