Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 190 стр.

§ 2. Положительно определенные квадратичные формы                             189


    Нам уже известно (см. п. 6, с. 175), что для того, чтобы матрица A
была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все
ее собственные числа были положительны.
    Отметим, что поскольку определитель матрицы равен произведе-
нию ее собственных чисел (см. (4.24), с. 168), то определитель поло-
жительно определенной матрицы положителен.
    Полезный признак положительной определенности квадратичной
формы дает
   1.1. Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы
квадратичная форма (1.1) была положительно определена, необхо-
димо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A были
положительны.
    Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Фиксируем некото-
рое целое k, 1 6 k 6 n. Выберем в качестве вектора x в (1.1) вектор
вида x = (x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) = (y, 0, . . . , 0), где y можно считать
произвольным вектором пространства Rk . Тогда (Ax, x) = (Ak y, y),
где Ak — матрица, соответствующая главному минору порядка k мат-
рицы A. Из условия (1.1), очевидно, вытекает, что (Ak y, y) > 0 для
любого ненулевого вектора y ∈ Rk , т. е. матрица Ak положительно
определена, следовательно ее определитель (главный минор поряд-
ка k матрицы A) положителен.
    Д о с т а т о ч н о с т ь. Покажем, что если все главные миноры мат-
рицы A положительны, то положительны все ее собственные числа.
Тогда положительная определенность матрицы A будет установлена.
На самом деле, мы докажем большее, мы покажем, что собственные
числа всех главных миноров матрицы A положительны. Для минора
первого порядка, т. е. для a11 , это выполняется тривиальным обра-
зом. Предположим, что у матрицы Ak , соответствующей главному
минору порядка k, все собственные числа λ1 6 · · · 6 λk положитель-
ны и покажем, что тогда и у матрицы Ak+1 все собственные числа
λ̂1 6 · · · 6 λ̂k+1 положительны. В соответствии с теоремой 7, с. 175,
выполнены неравенства

                   λ̂1 6 λ1 6 λ̂2 6 λ2 6 · · · 6 λk 6 λ̂k+1 ,

откуда вытекает, что λ̂2 , . . . , λ̂k+1 > 0. Поскольку по условию
det(Ak+1 ) > 0, а det(Ak+1 ) = λ̂1 λ̂2 · · · λ̂k+1 , то и λ̂1 > 0. ¤