Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

188 Глава 7. Квадратичные формы
или A = D
T
BD, где D = C
−1
. Поскольку матрица D невырож-
дена, векторы De
n−n
+
+1
, . . . , De
n
линейно независимы и подпро-
странство S
n
+
, натянутое на эти векторы, имеет размерность n
+
.
Пусть x ∈ S
n
+
. Тогда x = α
n−n
+
+1
De
n−++1
+ ··· + α
n
De
n
= Dy,
где y = α
n−n
+
+1
e
n−n
+
+1
+ ··· + α
n
e
n
, и
(Bx, x) = (D
T
BDy, y) = (Ay, y) > λ
n−n
+
+1
(y, y). (4.5)
Заметим теперь, что (y, y) = (Cx, Cx) = (C
T
Cx, x). Матрица C
невырождена, поэтому матрица C
T
C положительно определена (см.
упражнения на с. 151), следовательно,
(y, y) > λ
1
(C
T
C)(x, x), (4.6)
причем λ
1
(C
T
C) > 0. Из (4.5), (4.6) вытекает, что
min
x∈S
n
+
, x6=0
(Bx, x)
(x, x)
> λ
n−n
+
+1
λ
1
(C
T
C) > 0,
поэтому, применяя теорему 5.3, с. 174, получим, что λ
n−n
+
+1
(B) > 0.
Это означает, что у матрицы B не меньше чем n
+
положительных
характеристических чисел, иначе говоря, n
+
(B) > n
+
(A). В выпол-
ненных рассуждениях матрицы A и B можно поменять местами, сле-
довательно, n
+
(A) = n
+
(B). ¤
4.2. Следствие (закон инерции квадратичных форм).
Количества положительных и отрицательных слагаемых в (4.1) не
зависят от способа приведения невырожденным линейным преобра-
зованием переменных квадратичной формы (1.1) к каноническому
виду.
Доказательство. Коэффициенты b
ii
в (4.1) — это характери-
стические числа диагональной матрицы B = Q
T
AQ, конгруэнтной
матрице A, поэтому количества положительных и отрицательных
слагаемых в (4.1) определяются инерцией матрицы A и не зависят
от способа приведения невырожденным линейным преобразованием
переменных квадратичной формы (1.1) к каноническому виду. ¤
§ 2. Положительно определенные квадратичные формы
1. Квадратичная форма (1.1) называется положительно опре-
деленной, если соответствующая ей матрица A положительно опре-
делена, т. е.
(Ax, x) > 0 для всех не равных нулю x ∈ R
n
. (1.1)
188                                             Глава 7. Квадратичные формы


или A = D T BD, где D = C −1 . Поскольку матрица D невырож-
дена, векторы Den−n+ +1 , . . . , Den линейно независимы и подпро-
странство Sn+ , натянутое на эти векторы, имеет размерность n+ .
Пусть x ∈ Sn+ . Тогда x = αn−n+ +1 Den−++1 + · · · + αn Den = Dy,
где y = αn−n+ +1 en−n+ +1 + · · · + αn en , и
          (Bx, x) = (D T BDy, y) = (Ay, y) > λn−n+ +1 (y, y).         (4.5)
Заметим теперь, что (y, y) = (Cx, Cx) = (C T Cx, x). Матрица C
невырождена, поэтому матрица C T C положительно определена (см.
упражнения на с. 151), следовательно,
                           (y, y) > λ1 (C T C)(x, x),                 (4.6)
причем λ1 (C T C) > 0. Из (4.5), (4.6) вытекает, что
                            (Bx, x)
                 min                > λn−n+ +1 λ1 (C T C) > 0,
              x∈Sn+ ,   x6=0 (x, x)

поэтому, применяя теорему 5.3, с. 174, получим, что λn−n+ +1 (B) > 0.
Это означает, что у матрицы B не меньше чем n+ положительных
характеристических чисел, иначе говоря, n+ (B) > n+ (A). В выпол-
ненных рассуждениях матрицы A и B можно поменять местами, сле-
довательно, n+ (A) = n+ (B). ¤
    4.2.   Следствие (закон инерции квадратичных форм).
Количества положительных и отрицательных слагаемых в (4.1) не
зависят от способа приведения невырожденным линейным преобра-
зованием переменных квадратичной формы (1.1) к каноническому
виду.
    Доказательство. Коэффициенты bii в (4.1) — это характери-
стические числа диагональной матрицы B = QT AQ, конгруэнтной
матрице A, поэтому количества положительных и отрицательных
слагаемых в (4.1) определяются инерцией матрицы A и не зависят
от способа приведения невырожденным линейным преобразованием
переменных квадратичной формы (1.1) к каноническому виду. ¤

  § 2. Положительно определенные квадратичные формы

    1. Квадратичная форма (1.1) называется положительно опре-
деленной, если соответствующая ей матрица A положительно опре-
делена, т. е.
           (Ax, x) > 0 для всех не равных нулю x ∈ Rn .               (1.1)

Страницы