Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

186 Глава 7. Квадратичные формы
Отсюда после замены переменных
t
1
= z
1
, t
2
= z
2
+ 2z
3
, t
3
= z
3
получаем
F = 2t
2
1
− 2t
2
2
+ 6t
2
3
, (3.7)
т. е. в переменных t
1
, t
2
, t
3
квадратичная форма принимает канонический вид. Очевид-
но, каждое из выполненных нами преобразований переменных имеет невырожденную
матрицу. Результирующее преобразование переменных, как нетрудно проверить, имеет
вид
t
1
=
1
2
x
1
+
1
2
x
2
− x
3
, t
2
= −
1
2
x
1
+
1
2
x
2
+ 2x
3
, t
3
= x
3
,
откуда
x
1
x
2
x
3
=
1 −1 3
1 1 −1
0 0 1
t
1
t
2
t
3
. (3.8)
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что матрица преобразования пере-
менных (3.8) невырождена и эта замена переменных приводит квадратичную фор-
му (3.6) к каноническому виду (3.7).
4. Закон инерции квадратичных форм. Среди коэффициентов b
ii
канонического вида (1.3) квадратичной формы (1.1) могу быть поло-
жительные, отрицательные, а также нулевые числа. Нумеруя соот-
ветствующим образом переменные, запишем (1.3) так:
(Ax, x) = (By, y) =
n
+
X
i=1
b
ii
y
2
i
+
n
−
X
i=n
+
+1
b
ii
y
2
i
. (4.1)
Считаем при этом, что числа b
ii
положительны при i = 1, 2, . . . , n
+
и отрицательны при i = n
+
+ 1, . . . , n
−
.
Как мы уже убедились, приведение квадратичной формы к кано-
ническому виду может быть выполнено различными способами. По-
этому естественно поставить вопрос: зависят ли числа n
+
, n
−
от спо-
соба приведения квадратичной формы к каноническому виду?
При исследовании этого вопроса будут использованы следующие
определения.
Симметричные матрицы A и B называют конгруэнтными, если
существует невырожденная матрица C такая, что B = C
T
AC.
С каждой симметричной матрицей A свяжем три целых чис-
ла: n
0
(A) — количество нулевых характеристических чисел матри-
цы A, n
+
(A) — количество положительных характеристических чи-
сел, n
−
(A) — количество отрицательных характеристических чисел
(характеристические числа подсчитываются с учетом их кратности).
Тройка чисел n
0
(A), n
+
(A), n
−
(A) называется инерцией матрицы A
или инерцией, соответствующей ей квадратичной формы.
186                                                           Глава 7. Квадратичные формы


Отсюда после замены переменных

                           t1 = z 1 ,   t2 = z2 + 2z3 ,       t3 = z 3

получаем
                                   F = 2t21 − 2t22 + 6t23 ,                              (3.7)
т. е. в переменных t1 , t2 , t3 квадратичная форма принимает канонический вид. Очевид-
но, каждое из выполненных нами преобразований переменных имеет невырожденную
матрицу. Результирующее преобразование переменных, как нетрудно проверить, имеет
вид
                      1         1               1     1
                t1 = x1 + x2 − x3 , t2 = − x1 + x2 + 2x3 , t3 = x3 ,
                      2         2               2     2
откуда                                             
                                   x1       1 −1   3    t1
                                  x 2  = 1  1 −1 t2  .                      (3.8)
                                   x3       0  0   1    t3
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что матрица преобразования пере-
менных (3.8) невырождена и эта замена переменных приводит квадратичную фор-
му (3.6) к каноническому виду (3.7).

    4. Закон инерции квадратичных форм. Среди коэффициентов b ii
канонического вида (1.3) квадратичной формы (1.1) могу быть поло-
жительные, отрицательные, а также нулевые числа. Нумеруя соот-
ветствующим образом переменные, запишем (1.3) так:
                                             n+                    n−
                                             X                     X
                 (Ax, x) = (By, y) =                bii yi2   +             bii yi2 .   (4.1)
                                              i=1                 i=n+ +1

Считаем при этом, что числа bii положительны при i = 1, 2, . . . , n+
и отрицательны при i = n+ + 1, . . . , n− .
    Как мы уже убедились, приведение квадратичной формы к кано-
ническому виду может быть выполнено различными способами. По-
этому естественно поставить вопрос: зависят ли числа n+ , n− от спо-
соба приведения квадратичной формы к каноническому виду?
    При исследовании этого вопроса будут использованы следующие
определения.
    Симметричные матрицы A и B называют конгруэнтными, если
существует невырожденная матрица C такая, что B = C T AC.
    С каждой симметричной матрицей A свяжем три целых чис-
ла: n0 (A) — количество нулевых характеристических чисел матри-
цы A, n+ (A) — количество положительных характеристических чи-
сел, n− (A) — количество отрицательных характеристических чисел
(характеристические числа подсчитываются с учетом их кратности).
Тройка чисел n0 (A), n+ (A), n− (A) называется инерцией матрицы A
или инерцией, соответствующей ей квадратичной формы.

Страницы