Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

184 Глава 7. Квадратичные формы
Говорят, что преобразование переменных (1.2) приводит квадра-
тичную форму (1.1) к каноническому виду, если матрица B = Q
T
AQ
диагональна, т. е.
(Ax, x) =
n
X
i=1
b
ii
y
2
i
. (1.3)
Можно сказать также, что квадратичная форма (1.1) преобразовани-
ем переменных (1.2) приведена к сумме квадратов.
2. Всякую квадратичную форму невырожденным преобразова-
нием переменных можно привести к каноническому виду. Действи-
тельно, поскольку A — симметричная матрица, существует ортого-
нальная матрица Q такая, что
Q
T
AQ = Λ,
где Λ — диагональная матрица, по диагонали которой расположены
все собственные числа матрицы A. При таком выборе матрицы Q пре-
образование переменных (1.2) приводит квадратичную форму (1.1) к
виду
(Ax, x) =
n
X
i=1
λ
i
y
2
i
, (2.1)
где λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— собственные числа матрицы A.
3. Существуют и другие способы приведения квадратичной фор-
мы к каноническому виду. Опишем, например, метод Лагранжа, или
метод выделения полных квадратов, приведения квадратичной фор-
мы к каноническому виду. В ходе описания этого метода, фактически,
будет дано еще одно, независимое, доказательство возможности при-
ведения любой квадратичной формы к каноническому виду.
Будем различать два случая: 1) в квадратичной форме (1.1) коэф-
фициент при квадрате какой-либо переменной отличен от нуля, 2) ко-
эффициенты при квадратах всех переменных — нули.
Рассмотрим сначала первый случай и пусть a
11
6= 0. Если это не
так, придется ввести другую нумерацию неизвестных.
Запишем квадратичную форму (1.1) в виде
F = a
−1
11
(a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
)
2
+ G, (3.1)
где G = F − a
−1
11
(a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
)
2
. Нетрудно убедиться,
что G не содержит x
1
, а является квадратичной формой только от
переменных x
2
, x
3
, . . . , x
n
. Положим
y
1
= a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
, y
2
= x
2
, . . . , y
n
= x
n
. (3.2)
184                                                Глава 7. Квадратичные формы


   Говорят, что преобразование переменных (1.2) приводит квадра-
тичную форму (1.1) к каноническому виду, если матрица B = QT AQ
диагональна, т. е.
                                  n
                                  X
                        (Ax, x) =   bii yi2 .               (1.3)
                                            i=1
Можно сказать также, что квадратичная форма (1.1) преобразовани-
ем переменных (1.2) приведена к сумме квадратов.
   2. Всякую квадратичную форму невырожденным преобразова-
нием переменных можно привести к каноническому виду. Действи-
тельно, поскольку A — симметричная матрица, существует ортого-
нальная матрица Q такая, что
                                  QT AQ = Λ,
где Λ — диагональная матрица, по диагонали которой расположены
все собственные числа матрицы A. При таком выборе матрицы Q пре-
образование переменных (1.2) приводит квадратичную форму (1.1) к
виду
                                  n
                                  X
                        (Ax, x) =   λi yi2 ,               (2.1)
                                            i=1
где λ1 , λ2 , . . . , λn — собственные числа матрицы A.
    3. Существуют и другие способы приведения квадратичной фор-
мы к каноническому виду. Опишем, например, метод Лагранжа, или
метод выделения полных квадратов, приведения квадратичной фор-
мы к каноническому виду. В ходе описания этого метода, фактически,
будет дано еще одно, независимое, доказательство возможности при-
ведения любой квадратичной формы к каноническому виду.
    Будем различать два случая: 1) в квадратичной форме (1.1) коэф-
фициент при квадрате какой-либо переменной отличен от нуля, 2) ко-
эффициенты при квадратах всех переменных — нули.
    Рассмотрим сначала первый случай и пусть a11 6= 0. Если это не
так, придется ввести другую нумерацию неизвестных.
    Запишем квадратичную форму (1.1) в виде
               F = a−1                                    2
                    11 (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ) + G,               (3.1)
где G = F − a−1                                      2
               11 (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ) . Нетрудно убедиться,
что G не содержит x1 , а является квадратичной формой только от
переменных x2 , x3 , . . . , xn . Положим
  y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ,    y2 = x 2 ,   ...,   y n = xn .   (3.2)

Страницы