Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 8
Кривые и поверхности второго порядка
§ 1. Кривые второго порядка
1. Как показано в § 3 гл. 2, уравнение
ax
1
+ bx
2
+ c = 0 (1.1)
описывает прямую на плоскости. Уравнение (1.1) называют уравне-
нием первого порядка или линейным уравнением (оно содержит неиз-
вестные в первой степени).
В настоящем параграфе будут изучаться так называемые кривые
второго порядка, описываемые уравнениями вида
a
11
x
2
1
+ 2a
12
x
1
x
2
+ a
22
x
2
2
+ 2a
1
x
1
+ 2a
2
x
2
+ a
0
= 0. (1.2)
Здесь a
ij
, i, j = 1, 2, a
i
, i = 0, 1, 2 — вещественные числа, называе-
мые коэффициентами уравнения. Множитель два при некоторых ко-
эффициентах поставлен для удобства записи формул, получаемых в
дальнейшем.
Функцию двух переменных, образованную левой частью уравне-
ния (1.2), называют квадратичной функцией. Числа a
ij
, i, j = 1, 2
называют старшими коэффициентами квадратичной функции.
Множество всех точек x = (x
1
, x
2
) на плоскости, удовлетворяю-
щих уравнению (1.2), называют кривой второго порядка.
2. Простейшей кривой второго порядка является окружность.
Напомним, что окружностью называется множество всех точек x
плоскости, удаленных на расстояние R > 0 от точки x
0
. Точка x
0
—
центр окружности, R — радиус окружности.
Напишем уравнение окружности. По определению для точек
окружности имеем |x − x
0
| = R, или
(x
1
− x
0
1
)
2
+ (x
2
− x
0
2
)
2
− R
2
= 0. (2.1)
Раскроем скобки в левой части и приведем подобные члены. Получим
a
11
x
2
1
+ a
11
x
2
2
+ 2a
1
x
1
+ 2a
2
x
2
+ a
0
= 0, (2.2)
                                 Глава 8
       Кривые и поверхности второго порядка


                   § 1. Кривые второго порядка

   1. Как показано в § 3 гл. 2, уравнение
                             ax1 + bx2 + c = 0                         (1.1)
описывает прямую на плоскости. Уравнение (1.1) называют уравне-
нием первого порядка или линейным уравнением (оно содержит неиз-
вестные в первой степени).
    В настоящем параграфе будут изучаться так называемые кривые
второго порядка, описываемые уравнениями вида
          a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a1 x1 + 2a2 x2 + a0 = 0.   (1.2)
Здесь aij , i, j = 1, 2, ai , i = 0, 1, 2 — вещественные числа, называе-
мые коэффициентами уравнения. Множитель два при некоторых ко-
эффициентах поставлен для удобства записи формул, получаемых в
дальнейшем.
   Функцию двух переменных, образованную левой частью уравне-
ния (1.2), называют квадратичной функцией. Числа aij , i, j = 1, 2
называют старшими коэффициентами квадратичной функции.
   Множество всех точек x = (x1 , x2 ) на плоскости, удовлетворяю-
щих уравнению (1.2), называют кривой второго порядка.
   2. Простейшей кривой второго порядка является окружность.
Напомним, что окружностью называется множество всех точек x
плоскости, удаленных на расстояние R > 0 от точки x0 . Точка x0 —
центр окружности, R — радиус окружности.
   Напишем уравнение окружности. По определению для точек
окружности имеем |x − x0 | = R, или
                    (x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 − R2 = 0.              (2.1)
Раскроем скобки в левой части и приведем подобные члены. Получим
                a11 x21 + a11 x22 + 2a1 x1 + 2a2 x2 + a0 = 0,          (2.2)

Страницы