Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 193 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

192 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
Возможны три случая.
1) d < 0. В этом случае, полагая R
2
= −d/a
2
11
, запишем уравне-
ние (3.2) в виде (2.4).
2) d = 0. В этом случае уравнение (3.2) принимает вид
y
2
1
+ y
2
2
= 0.
Этому уравнению удовлетворяет единственная точка y = 0.
3) d > 0. В этом случае уравнение (3.2) принимает вид
y
2
1
+ y
2
2
= −
a
2
1
+ a
2
2
− a
11
a
0
a
2
11
< 0. (3.3)
Такому уравнению не может удовлетворять ни одна точка плоскости.
Тем не менее, существуют комплексные числа y
1
, y
2
, удовлетворяю-
щие уравнению (3.3). Поэтому говорят, что уравнение (3.3) является
уравнением мнимой окружности.
4. Аналогично исследуется и общее уравнение (1.2) кривой вто-
рого порядка. Для сокращения записей введем в рассмотрение сим-
метричную матрицу
A =
µ
a
11
a
12
a
21
a
22
, a
21
= a
12
,
составленную из старших коэффициентов квадратичной функции, и
вектор a = (a
1
, a
2
), составленный из младших коэффициентов. Тогда
уравнение (1.2) запишется в виде
(Ax, x) + 2(a, x) + a
0
= 0. (4.1)
Упрощение этого уравнения мы будем выполнять при помощи за-
мены переменных
x = x
0
+ T y, (4.2)
где
T =
µ
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
.
Геометрически эта замена переменных может быть интерпрети-
рована так: начало координат переносится в точку x
0
, затем выпол-
няется поворот осей против часовой стрелки на угол ϕ, если считать
при этом, что и исходная декартова система координат правая, т. е.
поворот от оси x
1
к оси x
2
— поворот против часовой стрелки (см.
с. 180).
192                                Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


   Возможны три случая.
   1) d < 0. В этом случае, полагая R2 = −d/a211 , запишем уравне-
ние (3.2) в виде (2.4).
   2) d = 0. В этом случае уравнение (3.2) принимает вид
                                    y12 + y22 = 0.
Этому уравнению удовлетворяет единственная точка y = 0.
   3) d > 0. В этом случае уравнение (3.2) принимает вид
                                     a21 + a22 − a11 a0
                  y12   +   y22   =−                    < 0.               (3.3)
                                            a211
Такому уравнению не может удовлетворять ни одна точка плоскости.
Тем не менее, существуют комплексные числа y1 , y2 , удовлетворяю-
щие уравнению (3.3). Поэтому говорят, что уравнение (3.3) является
уравнением мнимой окружности.
   4. Аналогично исследуется и общее уравнение (1.2) кривой вто-
рого порядка. Для сокращения записей введем в рассмотрение сим-
метричную матрицу
                       µ        ¶
                        a11 a12
                   A=             , a21 = a12 ,
                        a21 a22

составленную из старших коэффициентов квадратичной функции, и
вектор a = (a1 , a2 ), составленный из младших коэффициентов. Тогда
уравнение (1.2) запишется в виде
                        (Ax, x) + 2(a, x) + a0 = 0.                        (4.1)
   Упрощение этого уравнения мы будем выполнять при помощи за-
мены переменных
                         x = x0 + T y,                   (4.2)
где                             µ              ¶
                                 cos ϕ − sin ϕ
                            T =                  .
                                  sin ϕ  cos ϕ
    Геометрически эта замена переменных может быть интерпрети-
рована так: начало координат переносится в точку x0 , затем выпол-
няется поворот осей против часовой стрелки на угол ϕ, если считать
при этом, что и исходная декартова система координат правая, т. е.
поворот от оси x1 к оси x2 — поворот против часовой стрелки (см.
с. 180).

Страницы