Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

194 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
Будем считать, что ϕ
1
, ϕ
2
∈ (−π/2, π/2). Причем, поскольку соб-
ственные векторы симметричной матрицы, отвечающие различным
собственным числам ортогональны (см. с. 171), то обязательно
ϕ
1
− ϕ
2
= ±π/2.
Элементарные вычисления дают
tg ϕ
1
− tg ϕ
2
= (λ
1
− λ
2
)/a
12
=
p
(a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2
12
a
12
. (4.9)
В соответствии со знаком a
12
занумеруем собственные числа (и
соответствующие им углы) так, чтобы tg ϕ
1
6 tg ϕ
2
, т. е.
ϕ
2
= ϕ
1
+ π/2.
Используя общие построения (см. с. 171), матрицу T составим из соб-
ственных векторов e
1
, e
2
:
T =
µ
cos ϕ
1
cos ϕ
2
sin ϕ
1
sin ϕ
2
=
µ
cos ϕ
1
−sin ϕ
1
sin ϕ
1
cos ϕ
1
. (4.10)
При указанном выборе матрицы T получаем
T
T
AT =
µ
λ
1
0
0 λ
2
,
и уравнение (4.5) принимает вид (4.7), причем λ
1
, λ
2
6= 0, посколь-
ку λ
1
λ
2
= det A, а по условию det A 6= 0.
2) det A = 0. Естественно считать, что A 6= 0, иначе уравне-
ние (1.2) — линейное уравнение (уравнение прямой). Понятно, что
в этом случае либо λ
1
= 0, либо λ
2
= 0. Одновременно λ
1
, λ
2
не
могут равняться нулю. Система уравнений (4.4) в этом случае либо
не имеет решений, либо этих решений бесчисленное множество (они
заполняют прямую на плоскости).
Рассмотрим сначала второй случай. Матрица A вырождена, по-
этому существует такое µ, что a
21
= µa
11
, a
22
= µa
12
(мы считаем
для определенности, что a
11
6= 0, в противном случае полностью ана-
логичные рассуждения проводятся с заменой индекса 1 на индекс 2).
Вследствие симметрии матрицы A отсюда получаем a
12
= µa
11
, и
потому a
22
= µ
2
a
11
, т. е.
A = a
11
µ
1 µ
µ µ
2
,
194                         Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


Будем считать, что ϕ1 , ϕ2 ∈ (−π/2, π/2). Причем, поскольку соб-
ственные векторы симметричной матрицы, отвечающие различным
собственным числам ортогональны (см. с. 171), то обязательно
                           ϕ1 − ϕ2 = ±π/2.
Элементарные вычисления дают
                                         p
                                          (a11 − a22 )2 + 4a212
      tg ϕ1 − tg ϕ2 = (λ1 − λ2 )/a12   =                        .   (4.9)
                                                 a12
    В соответствии со знаком a12 занумеруем собственные числа (и
соответствующие им углы) так, чтобы tg ϕ1 6 tg ϕ2 , т. е.
                            ϕ2 = ϕ1 + π/2.
Используя общие построения (см. с. 171), матрицу T составим из соб-
ственных векторов e1 , e2 :
                µ               ¶ µ                  ¶
                 cos ϕ1 cos ϕ2       cos ϕ1 − sin ϕ1
            T =                  =                     .     (4.10)
                  sin ϕ1 sin ϕ2      sin ϕ1   cos ϕ1

При указанном выборе матрицы T получаем
                               µ      ¶
                                 λ1 0
                      T T AT =          ,
                                 0 λ2

и уравнение (4.5) принимает вид (4.7), причем λ1 , λ2 6= 0, посколь-
ку λ1 λ2 = det A, а по условию det A 6= 0.
    2) det A = 0. Естественно считать, что A 6= 0, иначе уравне-
ние (1.2) — линейное уравнение (уравнение прямой). Понятно, что
в этом случае либо λ1 = 0, либо λ2 = 0. Одновременно λ1 , λ2 не
могут равняться нулю. Система уравнений (4.4) в этом случае либо
не имеет решений, либо этих решений бесчисленное множество (они
заполняют прямую на плоскости).
    Рассмотрим сначала второй случай. Матрица A вырождена, по-
этому существует такое µ, что a21 = µa11 , a22 = µa12 (мы считаем
для определенности, что a11 6= 0, в противном случае полностью ана-
логичные рассуждения проводятся с заменой индекса 1 на индекс 2).
Вследствие симметрии матрицы A отсюда получаем a12 = µa11 , и
потому a22 = µ2 a11 , т. е.
                                    µ     ¶
                                      1 µ
                            A = a11         ,
                                     µ µ2

Страницы