Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Кривые второго порядка 195
причем a
11
6= 0. Для разрешимости системы уравнений (4.4) необ-
ходимо, чтобы a
2
= µa
1
. При выполнении этого условия решением
системы (4.4) является любая точка прямой
x
0
1
= −a
1
/a
11
− µx
0
2
. (4.11)
Эта прямая называется линией центров. Нетрудно подсчитать,
что (a, x
0
) = −a
2
1
/a
11
для любой точки прямой (4.11), поэтому,
выполняя преобразование (4.2) при любой точке x
0
, удовлетворяю-
щей (4.11), получаем
(T
T
AT y, y) + a
0
− a
1
/a
11
= 0. (4.12)
Решая теперь задачу на собственные значения для матрицы A,
построим, как и выше, ортогональную матрицу T такую, что
T
T
AT =
µ
λ
1
0
0 0
, λ
1
6= 0.
Уравнение (4.12) принимает вид
y
2
1
+ d = 0, d = (a
0
− a
1
/a
11
)/λ
1
. (4.13)
Обратимся теперь к случаю, когда система уравнений (4.4) не
имеет решений. Как и раньше, построим матрицу T , приводящую,
матрицу A к диагональному виду. Будем для определенности считать,
что λ
2
= 0, λ
1
6= 0. Выполним в уравнении (4.1) замену
x = T ˜y,
полагая b = λ
−1
1
T
T
a, b
0
= a
0
/λ
1
. Получим
˜y
2
1
+ 2b
1
˜y
1
+ 2b
2
˜y
2
+ b
0
= 0.
Будем различать два случая. Если b
2
= 0, запишем последнее урав-
нение в виде
(˜y
1
+ b
1
)
2
+ d = 0, d = b
0
− b
2
1
,
если b
2
6= 0, можно написать, что
(˜y
1
+ b
1
)
2
+ 2b
2
(˜y
2
+ δ) = 0,
где δ = (b
0
− b
2
1
)/2b
2
. Полагая
y = ˜y + ˜x
0
,
§ 1. Кривые второго порядка                                      195


причем a11 6= 0. Для разрешимости системы уравнений (4.4) необ-
ходимо, чтобы a2 = µa1 . При выполнении этого условия решением
системы (4.4) является любая точка прямой
                           x01 = −a1 /a11 − µx02 .             (4.11)
Эта прямая называется линией центров. Нетрудно подсчитать,
что (a, x0 ) = −a21 /a11 для любой точки прямой (4.11), поэтому,
выполняя преобразование (4.2) при любой точке x0 , удовлетворяю-
щей (4.11), получаем

                     (T T AT y, y) + a0 − a1 /a11 = 0.         (4.12)
   Решая теперь задачу на собственные значения для матрицы A,
построим, как и выше, ортогональную матрицу T такую, что
                            µ      ¶
                    T         λ1 0
                   T AT =            , λ1 6= 0.
                              0 0

Уравнение (4.12) принимает вид
                   y12 + d = 0,     d = (a0 − a1 /a11 )/λ1 .   (4.13)
   Обратимся теперь к случаю, когда система уравнений (4.4) не
имеет решений. Как и раньше, построим матрицу T , приводящую,
матрицу A к диагональному виду. Будем для определенности считать,
что λ2 = 0, λ1 6= 0. Выполним в уравнении (4.1) замену
                                    x = T ỹ,
полагая b = λ−1 T
             1 T a, b0 = a0 /λ1 . Получим

                       ỹ12 + 2b1 ỹ1 + 2b2 ỹ2 + b0 = 0.
Будем различать два случая. Если b2 = 0, запишем последнее урав-
нение в виде
                 (ỹ1 + b1 )2 + d = 0, d = b0 − b21 ,
если b2 6= 0, можно написать, что
                       (ỹ1 + b1 )2 + 2b2 (ỹ2 + δ) = 0,
где δ = (b0 − b21 )/2b2 . Полагая
                                  y = ỹ + x̃0 ,

Страницы