Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

196 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
где ˜x
0
1
= b
1
, ˜x
0
2
= 0, в первом случае, ˜x
0
1
= b
1
, ˜x
0
2
= δ, во втором
случае, получим, что преобразование x = x
0
+ T y, где x
0
= −T ˜x
0
,
приводит уравнение (4.1) либо к виду
y
2
1
+ d = 0,
либо к виду
y
2
1
+ 2b
2
y
2
= 0.
Подводя итог, можно сказать, что, выбирая соответствующим об-
разом начало x
0
новой декартовой системы координат и угол поворо-
та ϕ ее осей по отношению к осям старой системы координат, общее
уравнение (4.1) кривой второго порядка можно преобразовать к од-
ной из следующих трех форм:
λ
1
x
2
+ λ
2
y
2
+ d = 0, λ
1
, λ
2
6= 0, (4.14)
y
2
= 2px, (4.15)
y
2
+ d = 0. (4.16)
Для удобства мы изменили очевидным образом обозначения декар-
товых координат.
Опираясь на уравнения (4.14)–(4.16), исследуем геометрические
свойства кривых второго порядка.
5. Начнем с уравнения (4.16). Возможны три случая: d = 0,
кривая совпадает с осью x; d < 0, кривая распадается на две па-
раллельные прямые y =
√
−d, y = −
√
−d; d > 0, множество точек
плоскости, удовлетворяющих уравнению (4.16), пусто, говорят, что
кривая распадается на две мнимые параллельные прямые.
6. Исследуем уравнение (4.14), возникшее при упрощении урав-
нения центральных кривых. Здесь нужно различать такие случаи:
1) знаки собственных чисел λ
1
, λ
2
матрицы A совпадают, при
этом, не ограничивая общности, можно считать, что λ
1
, λ
2
> 0;
2) знаки собственных чисел λ
1
, λ
2
различны.
Кривые, соответствующие первому случаю, называют эллипсами.
Здесь опять нужно различать три случая: d = 0, кривая вырожда-
ется в точку, совпадающую с началом координат; d > 0, уравнение
определят так называемый мнимый эллипс; d < 0, в этом случае
уравнение (4.14) запишем в виде
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, (6.1)
196                          Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


где x̃01 = b1 , x̃02 = 0, в первом случае, x̃01 = b1 , x̃02 = δ, во втором
случае, получим, что преобразование x = x0 + T y, где x0 = −T x̃0 ,
приводит уравнение (4.1) либо к виду
                               y12 + d = 0,
либо к виду
                             y12 + 2b2 y2 = 0.
    Подводя итог, можно сказать, что, выбирая соответствующим об-
разом начало x0 новой декартовой системы координат и угол поворо-
та ϕ ее осей по отношению к осям старой системы координат, общее
уравнение (4.1) кривой второго порядка можно преобразовать к од-
ной из следующих трех форм:
                   λ1 x2 + λ2 y 2 + d = 0,    λ1 , λ2 6= 0,         (4.14)
                                y 2 = 2px,                          (4.15)
                               y 2 + d = 0.                         (4.16)
Для удобства мы изменили очевидным образом обозначения декар-
товых координат.
   Опираясь на уравнения (4.14)–(4.16), исследуем геометрические
свойства кривых второго порядка.
   5. Начнем с уравнения (4.16). Возможны три случая: d = 0,
кривая совпадает с осью √x; d < 0, кривая
                                    √     распадается на две па-
раллельные прямые y = −d, y = − −d; d > 0, множество точек
плоскости, удовлетворяющих уравнению (4.16), пусто, говорят, что
кривая распадается на две мнимые параллельные прямые.
    6. Исследуем уравнение (4.14), возникшее при упрощении урав-
нения центральных кривых. Здесь нужно различать такие случаи:
    1) знаки собственных чисел λ1 , λ2 матрицы A совпадают, при
этом, не ограничивая общности, можно считать, что λ1 , λ2 > 0;
    2) знаки собственных чисел λ1 , λ2 различны.
    Кривые, соответствующие первому случаю, называют эллипсами.
Здесь опять нужно различать три случая: d = 0, кривая вырожда-
ется в точку, совпадающую с началом координат; d > 0, уравнение
определят так называемый мнимый эллипс; d < 0, в этом случае
уравнение (4.14) запишем в виде
                              x2 y 2
                                 +   = 1,                            (6.1)
                              a 2 b2

Страницы