Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

198 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
Точками пересечения этой кривой с осями координат являются
точки (±a, 0), (0, ±b). Они называются вершинами эллипса. Оси ко-
ординат — оси симметрии эллипса, так как если точка (x, y) принад-
лежит эллипсу, то точки (−x, y), (x, −y) также лежат на эллипсе.
Начало координат — центр симметрии эллипса, так как, если точ-
ка (x, y) принадлежит эллипсу, то и точка (−x, −y) лежит на эллипсе.
Числа a, b называют длинами полуосей эллипса. Будем для опре-
деленности считать, что a > b. Понятно, что при a = b эллипс пре-
вращается в окружность (радиуса a). Положим c =
√
a
2
− b
2
. Величи-
на e = c/a =
p
1 − b
2
/a
2
∈ [0, 1) характеризует степень вытянутости
эллипса вдоль большой полуоси и называется эксцентриситетом эл-
липса.
Точки (−c, 0), (c, 0) называются фокусами эллипса. Пусть (x, y) —
произвольная точка эллипса. Тогда, как ниже будет показано,
p
(x + c)
2
+ y
2
+
p
(x − c)
2
+ y
2
= 2a. (7.1)
Равенство (7.1) означает, что сумма расстояний от точки эллипса до
фокусов одна и та же для всех точек эллипса (см. рис. 2). Это свойство
эллипса можно принять за его определение, т. к., исходя из (7.1),
очевидно, можно получить уравнение эллипса.
Рис. 2. К определению эллипса и гиперболы.
Докажем справедливость равенства (7.1) для точек, принадлежа-
щих эллипсу. Используя равенства c
2
= a
2
− b
2
, y
2
= b
2
− b
2
x
2
/a
2
,
можем написать
(x + c)
2
+ y
2
= x
2
+ 2cx + a
2
− b
2
+ b
2
− b
2
x
2
/a
2
=
= x
2
(1 − b
2
/a
2
) + 2cx + a
2
= x
2
c
2
/a
2
+ 2cx + a
2
=
= (xc/a + a)
2
. (7.2)
Точно так же
(x − c)
2
+ y
2
= (−xc/a + a)
2
.
198                          Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


    Точками пересечения этой кривой с осями координат являются
точки (±a, 0), (0, ±b). Они называются вершинами эллипса. Оси ко-
ординат — оси симметрии эллипса, так как если точка (x, y) принад-
лежит эллипсу, то точки (−x, y), (x, −y) также лежат на эллипсе.
Начало координат — центр симметрии эллипса, так как, если точ-
ка (x, y) принадлежит эллипсу, то и точка (−x, −y) лежит на эллипсе.
    Числа a, b называют длинами полуосей эллипса. Будем для опре-
деленности считать, что a > b. Понятно, что при a√= b эллипс пре-
вращается в окружность
              p            (радиуса a). Положим c = a2 − b2 . Величи-
на e = c/a = 1 − b2 /a2 ∈ [0, 1) характеризует степень вытянутости
эллипса вдоль большой полуоси и называется эксцентриситетом эл-
липса.
    Точки (−c, 0), (c, 0) называются фокусами эллипса. Пусть (x, y) —
произвольная точка эллипса. Тогда, как ниже будет показано,
                p                  p
                   (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.         (7.1)
Равенство (7.1) означает, что сумма расстояний от точки эллипса до
фокусов одна и та же для всех точек эллипса (см. рис. 2). Это свойство
эллипса можно принять за его определение, т. к., исходя из (7.1),
очевидно, можно получить уравнение эллипса.




                 Рис. 2. К определению эллипса и гиперболы.


   Докажем справедливость равенства (7.1) для точек, принадлежа-
щих эллипсу. Используя равенства c2 = a2 − b2 , y 2 = b2 − b2 x2 /a2 ,
можем написать

 (x + c)2 + y 2 = x2 + 2cx + a2 − b2 + b2 − b2 x2 /a2 =
          = x2 (1 − b2 /a2 ) + 2cx + a2 = x2 c2 /a2 + 2cx + a2 =
                                                      = (xc/a + a)2 . (7.2)
Точно так же
                     (x − c)2 + y 2 = (−xc/a + a)2 .

Страницы