Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

200 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
ющих равенств
lim
x→∞
b
a
√
x
2
− a
2
x
=
b
a
, lim
x→∞
µ
b
a
p
x
2
− a
2
−
b
a
x
= 0.
Проверка первого из этих равенств совершенно элементарна. При
проверке второго полезно заметить, что
p
x
2
− a
2
− x = −
a
2
√
x
2
− a
2
+ x
→ 0
при x → ∞.
Положим c =
√
a
2
+ b
2
. Точки (−c, 0), (c, 0) называются фокусами
гиперболы. Для любой точки (x, y), лежащей на гиперболе,
¯
¯
¯
p
(x + c)
2
+ y
2
−
p
(x − c)
2
+ y
2
¯
¯
¯
= 2a, (8.2)
т. е. модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов по-
стоянен (см. рис. 2). Это свойство гиперболы можно было бы принять
за ее определение.
Проверим справедливость равенства (8.2), считая, что выполнены
соотношения (8.1). Для остальных ветвей гиперболы все рассуждения
полностью аналогичны. Следуя выкладкам, выполненным в преды-
дущем пункте (см. (7.2)), получаем
(x + c)
2
+ y
2
= (cx/a + a)
2
, (x − c)
2
+ y
2
= (cx/a − a)
2
.
Для рассматриваемой ветви гиперболы, как нетрудно убедиться,
справедливы неравенства
cx/a + a > 0, cx/a − a > 0.
Поэтому
p
(x + c)
2
+ y
2
−
p
(x − c)
2
+ y
2
= cx/a + a − (cx/a − a) = 2a,
т. е. (8.2) доказано.
9. Опишем геометрические свойства параболы (см. рис. 4). Боль-
шинство из них хорошо известно читателю из школьного курса мате-
матики. Будем считать, что p > 0. Рассмотрение случая p < 0 требует
очевидных изменений.
Непосредственно из уравнения (4.15) вытекает, что парабола рас-
положена в правой полуплоскости, симметрична относительно оси x.
200                            Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


ющих равенств
            b
              √                         µ p            ¶
               a   x2 − a 2  b           b           b
         lim                = ,     lim     x2 − a2 − x = 0.
         x→∞        x        a     x→∞ a             a
Проверка первого из этих равенств совершенно элементарна. При
проверке второго полезно заметить, что
                   p                       a2
                       x2 − a2 − x = − √             →0
                                        x2 − a 2 + x
при x → ∞.      √
   Положим c = a2 + b2 . Точки (−c, 0), (c, 0) называются фокусами
гиперболы. Для любой точки (x, y), лежащей на гиперболе,
             ¯p                p                ¯
             ¯        2   2             2     2 ¯
             ¯ (x + c) + y − (x − c) + y ¯ = 2a,              (8.2)

т. е. модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов по-
стоянен (см. рис. 2). Это свойство гиперболы можно было бы принять
за ее определение.
     Проверим справедливость равенства (8.2), считая, что выполнены
соотношения (8.1). Для остальных ветвей гиперболы все рассуждения
полностью аналогичны. Следуя выкладкам, выполненным в преды-
дущем пункте (см. (7.2)), получаем
      (x + c)2 + y 2 = (cx/a + a)2 ,    (x − c)2 + y 2 = (cx/a − a)2 .
Для рассматриваемой ветви гиперболы, как нетрудно убедиться,
справедливы неравенства
                        cx/a + a > 0,   cx/a − a > 0.
Поэтому
  p               p
     (x + c) + y − (x − c)2 + y 2 = cx/a + a − (cx/a − a) = 2a,
            2   2


т. е. (8.2) доказано.
   9. Опишем геометрические свойства параболы (см. рис. 4). Боль-
шинство из них хорошо известно читателю из школьного курса мате-
матики. Будем считать, что p > 0. Рассмотрение случая p < 0 требует
очевидных изменений.
   Непосредственно из уравнения (4.15) вытекает, что парабола рас-
положена в правой полуплоскости, симметрична относительно оси x.

Страницы