Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 202 стр.

§ 1. Кривые второго порядка                                        201




             Рис. 4. К описанию геометрических свойств параболы.


Единственной точкой пересечения с осями координат является нача-
ло координат. Эта точка называется вершиной параболы. Парабола
не имеет асимптот (докажите!).
    Точка (p/2, 0) называется фокусом параболы. Прямая x = −p/2
называется директрисой параболы (см. рис. 4). Для любой точ-
ки (x, y), принадлежащей параболе
                     p
                       (x − p/2)2 + y 2 = x + p/2,          (9.1)
т. е. расстояние от любой точки параболы до фокуса равно рассто-
янию этой точки до директрисы (см. рис.5). Это свойство параболы
можно было бы принять за ее определение.




                       Рис. 5. К определению параболы.


    Докажем равенство (9.1). Имеем
         (x − p/2)2 + y 2 = x2 − px + p2 /4 + 2px = (x + p/2)2 ,
причем, очевидно, x + p/2 > 0 для любой точки параболы, следова-
тельно, (9.1) выполнено.