Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 200 стр.

§ 1. Кривые второго порядка                                           199


Заметим, что c < a. Учтем также, что |x| 6 a для любой точки
эллипса. Поэтому справедливы неравенства
                    xc/a + a > 0,      −xc/a + a > 0,
следовательно,
     p                                 p
       (x + c)2 + y 2 = xc/a + a,       (x − c)2 + y 2 = −xc/a + a,
откуда непосредственно вытекает (7.1).
   8. Опишем геометрические свойства гиперболы (см. рис. 3). Из
уравнения (6.2) непосредственно вытекает, что если точка (x, y) ле-
жит на гиперболе, то x2 > a2 , y 2 6 b2 x2 /a2 т. е. кривая, описываемая
уравнением (6.2), лежит вне полосы |x| > a и внутри соответствую-
щих (вертикальных) углов, образованных прямыми y = ±(b/a)x.




             Рис. 3. К описанию геометрических свойств гиперболы.


   Как и в случае эллипса, проверяется, что кривая симметрична
относительно осей координат. Начало координат — центр симмет-
рии гиперболы. Точки (−a, 0), (a, 0) пересечения с осью x называются
вершинами гиперболы.
   Прямые y = ±(b/a)x — асимптоты соответствующих ветвей ги-
перболы (рис. 3). Покажем это применительно к ветви, определяемой
уравнением
                          bp 2
                      y=      x − a2 , x > a,                   (8.1)
                         a
и прямой y = (b/a)x. Для остальных ветвей выкладки полностью
аналогичны. В соответствии с определением асимптоты (см. курс ма-
тематического анализа) достаточно проверить справедливость следу-