Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Кривые второго порядка 197
где
a =
r
−d
λ
1
, b =
r
−d
λ
2
.
Кривую, описываемую уравнением (6.1), называют эллипсом.
Кривые, соответствующие случаю, когда λ
1
, λ
2
имеют различные
знаки, называют гиперболами. Будем для определенности считать,
что λ
1
> 0, λ
2
< 0. Если d = 0, то, очевидно, уравнение (4.14) можно
записать в виде
p
λ
1
x = ±
p
−λ
2
y,
т. е. в данном случае кривая распадается на две прямые, пересекаю-
щиеся в начале координат. Случаи d < 0, d > 0, фактически, можно
не различать, так как они сводятся один к другому за счет переиме-
нования осей координат.
Будем для определенности считать, что d < 0. Тогда уравне-
ние (4.14) можно записать в виде
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1, (6.2)
где
a =
r
−d
λ
1
, b =
r
−d
−λ
2
.
Кривую, описываемую уравнением (6.2), называют гиперболой.
7. Опишем геометрические свойства эллипса (см. рис. 1). Непо-
средственно из уравнения (6.1) вытекает, что для всех точек эллипса
справедливы неравенства: |x| 6 a, |y| 6 b, т. е. эллипс — ограничен-
ная кривая, расположенная в соответствующем прямоугольнике.
Рис. 1. К описанию геометрических свойств эллипса.
§ 1. Кривые второго порядка                                         197


где                           r         r
                             −d           −d
                       a=        , b=         .
                              λ1           λ2
Кривую, описываемую уравнением (6.1), называют эллипсом.
   Кривые, соответствующие случаю, когда λ1 , λ2 имеют различные
знаки, называют гиперболами. Будем для определенности считать,
что λ1 > 0, λ2 < 0. Если d = 0, то, очевидно, уравнение (4.14) можно
записать в виде          p           p
                           λ1 x = ± −λ2 y,
т. е. в данном случае кривая распадается на две прямые, пересекаю-
щиеся в начале координат. Случаи d < 0, d > 0, фактически, можно
не различать, так как они сводятся один к другому за счет переиме-
нования осей координат.
     Будем для определенности считать, что d < 0. Тогда уравне-
ние (4.14) можно записать в виде
                               x2 y 2
                                  −   = 1,                         (6.2)
                               a 2 b2
где                           r    r
                         −d            −d
                   a=       , b=          .
                         λ1           −λ2
Кривую, описываемую уравнением (6.2), называют гиперболой.
   7. Опишем геометрические свойства эллипса (см. рис. 1). Непо-
средственно из уравнения (6.1) вытекает, что для всех точек эллипса
справедливы неравенства: |x| 6 a, |y| 6 b, т. е. эллипс — ограничен-
ная кривая, расположенная в соответствующем прямоугольнике.




              Рис. 1. К описанию геометрических свойств эллипса.

Страницы