Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Поверхности второго порядка 203
3. Предположим сначала, что поверхность является централь-
ной, т. е. |A| 6= 0, или, что все равно, собственные числа λ
1
, λ
2
, λ
3
матрицы A отличны от нуля. Выполним в уравнении (1.1) замену
переменных
x = x
0
+ T y. (3.1)
Получим
(Λy, y) + 2(T
T
(Ax
0
+ a), y) + (Ax
0
, x
0
) + 2(a, x
0
) + a
0
= 0.
Определим x
0
как решение системы уравнений Ax
0
+ a = 0. Тогда
λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ λ
3
y
2
3
+ d = 0, (3.2)
где d = (a, x
0
) + a
0
= a
0
− (A
−1
a, a).
4. Пусть теперь одно из собственных чисел матрицы A равно
нулю, не ограничивая общности, можно считать, что
λ
1
, λ
2
6= 0, λ
3
= 0.
Выполним в уравнении (1.1) замену переменных
x = T ˜y.
Получим
λ
1
˜y
2
1
+ λ
2
˜y
2
2
+ 2b
1
˜y
1
+ 2b
2
˜y
2
+ 2b
3
˜y
3
+ a
0
= 0, (4.1)
где b = T
T
a. Заметим теперь, что
λ
k
˜y
2
k
+ 2b
k
˜y
k
= λ
k
(˜y
2
k
+ 2(b
k
/λ
k
)˜y
k
+ (b
k
/λ
k
)
2
) − λ
k
(b
k
/λ
k
)
2
=
= λ
k
(˜y
k
+ b
k
/λ
k
)
2
− b
2
k
/λ
k
, k = 1, 2,
следовательно,
λ
1
(˜y
1
+ b
1
/λ
1
)
2
+ λ
2
(˜y
2
+ b
2
/λ
2
)
2
+ 2b
3
˜y
3
+
˜
d = 0, (4.2)
где
˜
d = a
0
− b
2
1
/λ
1
− b
2
2
/λ
2
.
Далее нужно различать два случая: если b
3
= 0, положим
˜x
0
k
= b
k
/λ
k
, k = 1, 2, ˜x
0
3
= 0;
если b
3
6= 0, то 2b
3
˜y
3
+
˜
d = 2b
3
(˜y
3
+
˜
d/2b
3
) и мы положим
˜x
0
k
= b
k
/λ
k
, k = 1, 2, ˜x
0
3
=
˜
d/2b
3
.
Таким образом, преобразование x = x
0
+ T y, где x
0
= −T ˜x
0
при-
водит в первом случае уравнение (1.1) к виду
λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ d = 0, (4.3)
а во втором случае к виду
λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ 2b
3
y
3
= 0. (4.4)
§ 2. Поверхности второго порядка                                                    203


   3. Предположим сначала, что поверхность является централь-
ной, т. е. |A| 6= 0, или, что все равно, собственные числа λ1 , λ2 , λ3
матрицы A отличны от нуля. Выполним в уравнении (1.1) замену
переменных
                             x = x0 + T y.                       (3.1)
Получим
      (Λy, y) + 2(T T (Ax0 + a), y) + (Ax0 , x0 ) + 2(a, x0 ) + a0 = 0.
Определим x0 как решение системы уравнений Ax0 + a = 0. Тогда
                         λ1 y12 + λ2 y22 + λ3 y32 + d = 0,                      (3.2)
где d = (a, x0 ) + a0 = a0 − (A−1 a, a).
   4. Пусть теперь одно из собственных чисел матрицы A равно
нулю, не ограничивая общности, можно считать, что
                             λ1 , λ2 6= 0,    λ3 = 0.
Выполним в уравнении (1.1) замену переменных
                                     x = T ỹ.
Получим
              λ1 ỹ12 + λ2 ỹ22 + 2b1 ỹ1 + 2b2 ỹ2 + 2b3 ỹ3 + a0 = 0,         (4.1)
где b = T T a. Заметим теперь, что
    λk ỹk2 + 2bk ỹk = λk (ỹk2 + 2(bk /λk )ỹk + (bk /λk )2 ) − λk (bk /λk )2 =
                  = λk (ỹk + bk /λk )2 − b2k /λk ,      k = 1, 2,
следовательно,
           λ1 (ỹ1 + b1 /λ1 )2 + λ2 (ỹ2 + b2 /λ2 )2 + 2b3 ỹ3 + d˜ = 0,        (4.2)
где d˜ = a0 − b21 /λ1 − b22 /λ2 .
    Далее нужно различать два случая: если b3 = 0, положим
                     x̃0k = bk /λk , k = 1, 2, x̃03 = 0;
        6 0, то 2b3 ỹ3 + d˜ = 2b3 (ỹ3 + d/2b
если b3 =                                 ˜ 3 ) и мы положим
                 x̃0 = bk /λk , k = 1, 2, x̃0 = d/2b˜ 3.
                     k                               3
   Таким образом, преобразование x = x + T y, где x0 = −T x̃0 при-
                                                    0

водит в первом случае уравнение (1.1) к виду
                             λ1 y12 + λ2 y22 + d = 0,                           (4.3)
а во втором случае к виду
                           λ1 y12 + λ2 y22 + 2b3 y3 = 0.                        (4.4)

Страницы