Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 206 стр.

§ 2. Поверхности второго порядка                                       205




                             Рис. 6. Цилиндры.


    7. Как показано в предыдущем параграфе, уравнение (5.7) опи-
сывает параболу на плоскости переменных (x, y), поэтому соответ-
ствующая поверхность есть так называемый параболический цилиндр
с образующей, параллельной оси z. Любое сечение этой поверхности
плоскостью z = const — парабола (см. рис. 6).
    8. Уравнение (5.6) в зависимости от знаков λ1 , λ2 , d может описы-
вать эллипс или гиперболу в декартовой плоскости x, y. Соответству-
ющие поверхности — эллиптический или гиперболический цилиндр
(см. рис. 6). Понятно, что здесь возможны случаи вырождения, ана-
логичные, изученным в пунктах 7, 8 предыдущего параграфа.
    9. Обратимся к уравнению (5.5). Здесь нужно различать два
случая.
    1) Числа λ1 , λ2 имеют одинаковые знаки. Для определенности
будем считать, что они положительны. Будем считать, что b3 < 0.
Если принять, что b3 > 0, то получим, очевидно такую же, поверх-
ность, но симметричную относительно плоскости x, y. Если b3 = 0,
то мы приходим к одной из поверхностей, рассмотренных в предыду-
щем пункте. При сделанных предположениях уравнение (5.5) можно
записать в виде
                                 x2 y 2
                                    +     = z.                        (9.1)
                                 a 2 b2
Здесь a2 = 2|b3 |/λ1 , b2 = 2|b3 |/λ2 . При z < 0 уравнение (9.1) противо-
речиво, т. е. вся поверхность расположена в полупространстве z > 0.
Единственная точка плоскости z = 0, принадлежащая поверхности, —
начало координат. Координатные плоскости x = 0, y = 0 являют-
ся плоскостями симметрии, ось z является осью симметрии так как
если точка (x, y, z) принадлежит поверхности, то точки (−x, y, z),
(x, −y, z), (−x, −y, z) также принадлежат поверхности. Записывая