Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

206 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
уравнение (9.1) при z > 0 в виде
x
2
za
2
+
y
2
zb
2
= 1, (9.2)
получаем, что сечения этой поверхности плоскостями z = const > 0 —
эллипсы, полуоси которых увеличиваются с ростом z (см. рис. 7).
Сечения этой поверхности плоскостям x = const или y = const, как
нетрудно убедиться — параболы (см. рис. 7). Описанную поверхность
называют эллиптическим параболоидом.
Рис. 7. Эллиптический параболоид.
2) Числа λ
1
, λ
2
имеют разные знаки. Будем считать что
λ
1
> 0, λ
2
< 0, b
3
< 0.
Любое другое допустимое сочетание знаков рассматривается полно-
стью аналогично. Уравнение (5.5) можно записать а виде
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= z. (9.3)
Здесь a
2
= 2|b
3
|/λ
1
, b
2
= 2|b
3
|/|λ
2
|. Вновь координатные плоско-
сти x = 0, y = 0 являются плоскостями симметрии, ось z является
осью симметрии.
Проанализируем сечения этой поверхности плоскостями z = h,
параллельными координатной плоскости x, y. При h = 0 из (9.3) по-
лучаем
b
2
x
2
− a
2
y
2
= 0,
т. е. сечение поверхности плоскостью z = 0 — пара прямых (см. рис. 8)
y = ±
b
a
x.
206                          Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


уравнение (9.1) при z > 0 в виде
                             x2   y2
                                +    = 1,                            (9.2)
                             za2 zb2
получаем, что сечения этой поверхности плоскостями z = const > 0 —
эллипсы, полуоси которых увеличиваются с ростом z (см. рис. 7).
Сечения этой поверхности плоскостям x = const или y = const, как
нетрудно убедиться — параболы (см. рис. 7). Описанную поверхность
называют эллиптическим параболоидом.




                     Рис. 7. Эллиптический параболоид.


      2) Числа λ1 , λ2 имеют разные знаки. Будем считать что
                        λ1 > 0, λ2 < 0, b3 < 0.
Любое другое допустимое сочетание знаков рассматривается полно-
стью аналогично. Уравнение (5.5) можно записать а виде
                              x2 y 2
                                 −   = z.                            (9.3)
                              a 2 b2
Здесь a2 = 2|b3 |/λ1 , b2 = 2|b3 |/|λ2 |. Вновь координатные плоско-
сти x = 0, y = 0 являются плоскостями симметрии, ось z является
осью симметрии.
    Проанализируем сечения этой поверхности плоскостями z = h,
параллельными координатной плоскости x, y. При h = 0 из (9.3) по-
лучаем
                           b2 x2 − a2 y 2 = 0,
т. е. сечение поверхности плоскостью z = 0 — пара прямых (см. рис. 8)
                                     b
                                y = ± x.
                                     a

Страницы