Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

204 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
5. Пусть, наконец, лишь одно собственное число λ
1
матрицы A
отлично от нуля. Выполняя в уравнении (1.1) замену переменных
x = T ˜y,
получим
λ
1
˜y
2
1
+ 2b
1
˜y
1
+ 2b
2
˜y
2
+ 2b
3
˜y
3
+ a
0
= 0, (5.1)
где b = T
T
a. Рассуждая далее аналогично предыдущему пункту,
нетрудно показать, что при соответствующем выборе x
0
преобразо-
вание
x = x
0
+ T y
приводит уравнение либо к виду
λ
1
y
2
1
+ 2b
2
y
2
= 0, (5.2)
либо к виду
λ
1
y
2
1
+ d = 0. (5.3)
Подводя итог, можно сказать, что, выбирая соответствующим об-
разом начало x
0
новой декартовой системы координат и ортогональ-
ную матрицу T , общее уравнение (1.1) поверхности второго порядка
можно преобразовать к одному из следующих пяти видов:
λ
1
x
2
+ λ
2
y
2
+ λ
3
z
2
+ d = 0, λ
1
, λ
2
, λ
3
6= 0, (5.4)
λ
1
x
2
+ λ
2
y
2
+ 2b
3
z = 0, λ
1
, λ
2
6= 0, (5.5)
λ
1
x
2
+ λ
2
y
2
+ d = 0, λ
1
, λ
2
6= 0, (5.6)
y
2
= 2px, (5.7)
y
2
+ d = 0. (5.8)
Для удобства здесь очевидным образом изменены обозначения декар-
товых координат и некоторых коэффициентов.
Опираясь на уравнения (5.4)–(5.8), исследуем геометрические
свойства поверхностей второго порядка.
6. Начнем с уравнения (5.8). Здесь возможны три случая: d < 0,
поверхность распадается на две параллельные плоскости y =
√
−d
и y = −
√
−d; d = 0, поверхность представляет собой плоскость y = 0;
при d > 0 нет ни одной точки пространства, удовлетворяющей урав-
нению, говорят, что уравнение описывает пару параллельных мни-
мых плоскостей.
204                            Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


   5. Пусть, наконец, лишь одно собственное число λ1 матрицы A
отлично от нуля. Выполняя в уравнении (1.1) замену переменных
                                   x = T ỹ,
получим
                 λ1 ỹ12 + 2b1 ỹ1 + 2b2 ỹ2 + 2b3 ỹ3 + a0 = 0,        (5.1)
где b = T T a. Рассуждая далее аналогично предыдущему пункту,
нетрудно показать, что при соответствующем выборе x0 преобразо-
вание
                          x = x0 + T y
приводит уравнение либо к виду
                             λ1 y12 + 2b2 y2 = 0,                       (5.2)
либо к виду
                                λ1 y12 + d = 0.                         (5.3)
   Подводя итог, можно сказать, что, выбирая соответствующим об-
разом начало x0 новой декартовой системы координат и ортогональ-
ную матрицу T , общее уравнение (1.1) поверхности второго порядка
можно преобразовать к одному из следующих пяти видов:
              λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + d = 0,     λ1 , λ2 , λ3 6= 0,   (5.4)
                  λ1 x2 + λ2 y 2 + 2b3 z = 0,     λ1 , λ2 6= 0,         (5.5)
                    λ1 x2 + λ2 y 2 + d = 0,      λ1 , λ2 6= 0,          (5.6)
                                  y 2 = 2px,                            (5.7)
                                 y 2 + d = 0.                           (5.8)
Для удобства здесь очевидным образом изменены обозначения декар-
товых координат и некоторых коэффициентов.
   Опираясь на уравнения (5.4)–(5.8), исследуем геометрические
свойства поверхностей второго порядка.
    6. Начнем с уравнения (5.8). Здесь возможны три случая: d√< 0,
поверхность
       √ распадается на две параллельные плоскости y = −d
и y = − −d; d = 0, поверхность представляет собой плоскость y = 0;
при d > 0 нет ни одной точки пространства, удовлетворяющей урав-
нению, говорят, что уравнение описывает пару параллельных мни-
мых плоскостей.

Страницы