Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

202 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
§ 2. Поверхности второго порядка
1. Отнесем трехмерное евклидово пространство R
3
к декартовой
системе координат (см. с. 34). Поверхностью второго порядка назы-
вается множество всех точек x = (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
, удовлетворяющих
уравнению
(Ax, x) + 2(a, x) + a
0
= 0, (1.1)
где
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
есть заданная симметричная матрица a = (a
1
, a
2
, a
3
) — заданный век-
тор, a
0
— заданное число.
Простейший пример поверхности второго порядка — сфера ради-
уса R с центром в точке x
0
(см. с. 47).
Исследование и упрощение уравнения (1.1) опирается на общую
теорию квадратичных форм и проводится по той же схеме, что и для
кривых второго порядка. Однако, оно не может быть выполнено в
общем случае с той же степенью подробности, так как задача приве-
дения симметричной матрицы третьего порядка ортогональным пре-
образованием подобия к диагональному виду не допускает решения
по простым явным формулам.
2. Пусть λ
1
, λ
2
, λ
3
— корни характеристического уравнения
|A − λI| = 0,
e
1
, e
2
, e
2
— ортонормированный базис собственных векторов матри-
цы A: Ae
k
= λ
k
e
k
, k = 1, 2, 3, (e
k
, e
l
) = δ
kl
, k, l = 1, 2, 3. Положим
T =
e
1
1
e
2
1
e
3
1
e
1
2
e
2
2
e
3
2
e
1
3
e
2
3
e
3
3
.
По построению матрица T ортогональна и
T
T
AT = Λ =
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
.
202                          Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


                § 2. Поверхности второго порядка

    1. Отнесем трехмерное евклидово пространство R3 к декартовой
системе координат (см. с. 34). Поверхностью второго порядка назы-
вается множество всех точек x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , удовлетворяющих
уравнению
                    (Ax, x) + 2(a, x) + a0 = 0,                    (1.1)
где                                           
                              a11 a12 a13
                         A=  a21 a22 a23 
                              a31 a32 a33
есть заданная симметричная матрица a = (a1 , a2 , a3 ) — заданный век-
тор, a0 — заданное число.
    Простейший пример поверхности второго порядка — сфера ради-
уса R с центром в точке x0 (см. с. 47).
    Исследование и упрощение уравнения (1.1) опирается на общую
теорию квадратичных форм и проводится по той же схеме, что и для
кривых второго порядка. Однако, оно не может быть выполнено в
общем случае с той же степенью подробности, так как задача приве-
дения симметричной матрицы третьего порядка ортогональным пре-
образованием подобия к диагональному виду не допускает решения
по простым явным формулам.
      2. Пусть λ1 , λ2 , λ3 — корни характеристического уравнения
                              |A − λI| = 0,
e1 , e2 , e2 — ортонормированный базис собственных векторов матри-
цы A: Aek = λk ek , k = 1, 2, 3, (ek , el ) = δkl , k, l = 1, 2, 3. Положим
                                1 2 3
                                 e1 e1 e1
                           T = e12 e22 e32  .
                                 e13 e23 e33

По построению матрица T ортогональна и
                                       
                                 λ1 0 0
                  T T AT = Λ =  0 λ2 0  .
                                 0 0 λ3

Страницы