Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

208 Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка
10. Обратимся, наконец, к уравнению
λ
1
x
2
+ λ
2
y
2
+ λ
3
z
2
+ d = 0, λ
1
, λ
2
, λ
3
6= 0, (10.1)
описывающему центральные поверхности второго порядка. Не огра-
ничивая общности, здесь можно различать два случая:
1) λ
1
, λ
2
, λ
3
> 0, это условие эквивалентно условию положитель-
ной определенности матрицы A (см. с. 151);
2) λ
1
, λ
2
> 0, λ
3
< 0.
В случае 1) возможны три ситуации: d = 0, единственная точка,
удовлетворяющая (10.1), — начало координат; d > 0, нет ни одной
точки пространства, удовлетворяющей этому уравнению; d < 0. При
выполнении последнего условия уравнение (10.1) запишем в виде
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1. (10.2)
Здесь a
2
= −d/λ
1
, b
2
= −d/λ
2
, c
2
= −d/λ
3
. Поверхность, описывае-
мая уравнением (10.2), называется эллипсоидом.
Рис. 10. Эллипсоид.
Эллипсоид, очевидно, симметричен относительно всех трех коор-
динатных плоскостей и начала координат. Вся поверхность заключе-
на в параллелепипеде
|x| 6 a, |y| 6 b, |z| 6 c
и, следовательно, ограничена.
Изучим сечения эллипсоида плоскостями, параллельным коорди-
натным. Вследствие симметрии поверхности достаточно ограничить-
ся, например, плоскостями параллельными плоскости x, y. Нетрудно
208                            Глава 8. Кривые и поверхности второго порядка


      10. Обратимся, наконец, к уравнению
              λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + d = 0,     λ1 , λ2 , λ3 6= 0,   (10.1)
описывающему центральные поверхности второго порядка. Не огра-
ничивая общности, здесь можно различать два случая:
   1) λ1 , λ2 , λ3 > 0, это условие эквивалентно условию положитель-
ной определенности матрицы A (см. с. 151);
   2) λ1 , λ2 > 0, λ3 < 0.
   В случае 1) возможны три ситуации: d = 0, единственная точка,
удовлетворяющая (10.1), — начало координат; d > 0, нет ни одной
точки пространства, удовлетворяющей этому уравнению; d < 0. При
выполнении последнего условия уравнение (10.1) запишем в виде
                             x2 y 2 z 2
                                +  +    = 1.                            (10.2)
                             a 2 b2 c2
Здесь a2 = −d/λ1 , b2 = −d/λ2 , c2 = −d/λ3 . Поверхность, описывае-
мая уравнением (10.2), называется эллипсоидом.




                             Рис. 10. Эллипсоид.


    Эллипсоид, очевидно, симметричен относительно всех трех коор-
динатных плоскостей и начала координат. Вся поверхность заключе-
на в параллелепипеде
                       |x| 6 a,    |y| 6 b,      |z| 6 c
и, следовательно, ограничена.
    Изучим сечения эллипсоида плоскостями, параллельным коорди-
натным. Вследствие симметрии поверхности достаточно ограничить-
ся, например, плоскостями параллельными плоскости x, y. Нетрудно

Страницы