Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 210 стр.

§ 2. Поверхности второго порядка                                               209


убедиться, что кривая, получающуюся при пересечении эллипсоида с
плоскостью z = h, где |h| 6 c, является эллипсом с полуосями
                        r                 r
                               h2              h2
                 a1 = a 1 − 2 , b1 = b 1 − 2 .
                               c               c
При возрастании h от 0 до c, полуоси a1 , b1 убывают. При h = ±c
эллипс вырождается в точку (см. рис. 11).




    Рис. 11. Сечения эллипсоида плоскостями z = h при различных значениях h.


    Полезно отметить, что сечение эллипсоида любой плоскостью да-
ет эллипс. В самом деле, это сечение — кривая второго порядка. Она
ограничена, так как эллипсоид ограничен, но единственной ограни-
ченной кривой второго порядка (см. § 1) является эллипс.
    Обратимся к случаю 2). Пусть при этом d = 0. Запишем уравне-
ние (10.1) в виде
                            x2 y 2 z 2
                               +    − 2 = 0.                   (10.3)
                            a 2 b2      c
Здесь a2 = 1/λ1 , b2 = 1/λ2 , c2 = −1/λ3 . Поверхность, описываемая
уравнением (10.3), называется эллиптическим конусом. Поверхность
симметрична относительно всех трех координатных плоскостей и на-
чала координат. Ее сечение плоскостью z = h — эллипс с полуосями
a1 = a|h|/c, b1 = b|h|/c (см. рис. 12).
    При a = b получаем прямой круговой конус с вершиной в начале
координат.
    Заметим, что если точка (x, y, z) лежит на конусе, то и точ-
ка (tx, ty, tz) при любом t ∈ (−∞, ∞) лежит на конусе, т. е. вместе с
любой точкой (x, y, z), лежащей на конусе, конусу принадлежит и вся
прямая проходящая через эту точку и начало координат (см. рис. 12).
Можно сказать, таким образом, что эллиптический конус получается
при движении прямой (образующей), закрепленной в одной точке, по
эллиптической направляющей.