Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Поверхности второго порядка 211
Сечением поверхности плоскостью z = h является эллипс (см.
рис. 14) с полуосями
a
1
= a
r
1 +
h
2
c
2
, b
1
= b
r
1 +
h
2
c
2
.
При h = 0 получаем, так называемый, горловой эллипс.
Рис. 14. Сечения однополостного гиперболоида плоскостями z = h при различных зна-
чениях h.
Рассмотрим, наконец, случай d > 0. Уравнение (10.1) представим
в следующей форме:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= −1, (10.5)
a
2
= d/λ
1
, b
2
= d/λ
2
, c
2
= d/|λ
3
|. Уравнение (10.5) описывает двупо-
лостный гиперболоид (см. рис. 15).
Поверхность симметрична относительно всех трех координатных
плоскостей и начала координат. Заметим, что при |z| < c не суще-
ствует вещественных x, y, удовлетворяющих уравнению (10.5). При
|z| = c уравнению (10.5) удовлетворяют лишь x = 0, y = 0, т. е. вся
поверхность лежит вне плоского слоя |z| < c.
Сечениями поверхности плоскостями z = ±h при h > c являются
эллипсы (см. рис. 16) с полуосями
a
1
= a
r
h
2
c
2
− 1, b
1
= b
r
h
2
c
2
− 1.
Сечение поверхности плоскостями x = h, y = h дает гиперболы.
§ 2. Поверхности второго порядка                                             211


    Сечением поверхности плоскостью z = h является эллипс (см.
рис. 14) с полуосями
                        r              r
                            h2             h2
                  a1 = a 1 + 2 , b1 = b 1 + 2 .
                            c              c
При h = 0 получаем, так называемый, горловой эллипс.




Рис. 14. Сечения однополостного гиперболоида плоскостями z = h при различных зна-
чениях h.


    Рассмотрим, наконец, случай d > 0. Уравнение (10.1) представим
в следующей форме:
                             x2 y 2 z 2
                                +   − 2 = −1,                             (10.5)
                             a 2 b2  c
a2 = d/λ1 , b2 = d/λ2 , c2 = d/|λ3 |. Уравнение (10.5) описывает двупо-
лостный гиперболоид (см. рис. 15).
    Поверхность симметрична относительно всех трех координатных
плоскостей и начала координат. Заметим, что при |z| < c не суще-
ствует вещественных x, y, удовлетворяющих уравнению (10.5). При
|z| = c уравнению (10.5) удовлетворяют лишь x = 0, y = 0, т. е. вся
поверхность лежит вне плоского слоя |z| < c.
    Сечениями поверхности плоскостями z = ±h при h > c являются
эллипсы (см. рис. 16) с полуосями
                           r                   r
                             h2                  h2
                   a1 = a       − 1,   b 1 = b      − 1.
                             c2                  c2
Сечение поверхности плоскостями x = h, y = h дает гиперболы.

Страницы