Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Кривые второго порядка 193
Выполним замену переменных (4.2) в (4.1). После элементарных
преобразований с учетом симметрии матрицы A получим
(T
T
AT y, y) + 2(T
T
(Ax
0
+ a), y) + (Ax
0
, x
0
) + 2(a, x
0
) + a
0
= 0. (4.3)
Будем различать в дальнейшем два случая.
1) det A 6= 0. Говорят, что в этом случае уравнение (4.1) определя-
ет центральную кривую второго порядка. Центром кривой второго
порядка называется точка x
0
, определяемая как решение уравнения
Ax
0
= −a. (4.4)
Легко указать явные выражения для x
0
1
, x
0
2
. При таком выборе x
0
уравнение (4.3) принимает вид
(T
T
AT y, y) + (a, x
0
) + a
0
= 0. (4.5)
Построим теперь ортогональное преобразование T так, чтобы
привести матрицу T
T
AT к диагональному виду (см. с. 171). С этой
целью решим характеристическое уравнение |A −λI| = 0. Корни его
легко выписываются в явном виде
λ
1,2
=
a
11
+ a
22
±
p
(a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2
12
2
. (4.6)
Если a
12
= 0, то λ
1
= a
11
, λ
2
= a
22
. Положим в этом случае T = I.
Уравнение (4.5) принимает вид
λ
1
y
2
1
+ λ
2
y
2
2
+ d = 0, d = (a, x
0
) + a
0
, (4.7)
Если a
12
6= 0, то, очевидно, λ
1
6= λ
2
. Найдя λ
1
, λ
2
, определим
соответствующие им единичные собственные векторы e
1
, e
2
:
e
k
= (cos ϕ
k
, sin ϕ
k
), k = 1, 2,
как решения уравнений
Ae
k
= λ
k
e
k
, k = 1, 2,
или, более подробно,
(a
11
− λ
k
) cos ϕ
k
+ a
12
sin ϕ
k
= 0,
a
12
cos ϕ
k
+ (a
22
− λ
k
) sin ϕ
k
= 0,
откуда получаем уравнения для определения углов ϕ
1
, ϕ
2
:
tg ϕ
k
= −
a
11
− λ
k
a
12
, k = 1, 2. (4.8)
§ 1. Кривые второго порядка                                               193


   Выполним замену переменных (4.2) в (4.1). После элементарных
преобразований с учетом симметрии матрицы A получим
 (T T AT y, y) + 2(T T (Ax0 + a), y) + (Ax0 , x0 ) + 2(a, x0 ) + a0 = 0. (4.3)
    Будем различать в дальнейшем два случая.
    1) det A 6= 0. Говорят, что в этом случае уравнение (4.1) определя-
ет центральную кривую второго порядка. Центром кривой второго
порядка называется точка x0 , определяемая как решение уравнения
                                 Ax0 = −a.                              (4.4)
Легко указать явные выражения для x01 , x02 . При таком выборе x0
уравнение (4.3) принимает вид
                      (T T AT y, y) + (a, x0 ) + a0 = 0.                (4.5)
    Построим теперь ортогональное преобразование T так, чтобы
привести матрицу T T AT к диагональному виду (см. с. 171). С этой
целью решим характеристическое уравнение |A − λI| = 0. Корни его
легко выписываются в явном виде
                                   p
                      a11 + a22 ± (a11 − a22 )2 + 4a212
               λ1,2 =                                   .          (4.6)
                                       2
    Если a12 = 0, то λ1 = a11 , λ2 = a22 . Положим в этом случае T = I.
Уравнение (4.5) принимает вид
                 λ1 y12 + λ2 y22 + d = 0,   d = (a, x0 ) + a0 ,         (4.7)
    Если a12 6= 0, то, очевидно, λ1 6= λ2 . Найдя λ1 , λ2 , определим
соответствующие им единичные собственные векторы e1 , e2 :
                     ek = (cos ϕk , sin ϕk ),   k = 1, 2,
как решения уравнений
                          Aek = λk ek ,     k = 1, 2,
или, более подробно,
                    (a11 − λk ) cos ϕk + a12 sin ϕk = 0,
                    a12 cos ϕk + (a22 − λk ) sin ϕk = 0,
откуда получаем уравнения для определения углов ϕ1 , ϕ2 :
                                  a11 − λk
                      tg ϕk = −            ,    k = 1, 2.               (4.8)
                                     a12

Страницы