Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Кривые второго порядка 191
где a
11
= 1, a
1
= −x
0
1
, a
2
= −x
0
2
, a
0
= (x
0
1
)
2
+ (x
0
2
)
2
− R
2
. Таким
образом, уравнение окружности записано в виде (1.2) при некоторых
специальных значениях коэффициентов.
Уравнение окружности существенно упростится, если перенести
начало координат в точку x
0
. Иными словами, определить положе-
ние точки на плоскости новыми декартовыми координатами y
1
, y
2
,
связанными со старыми координатами x
1
, x
2
соотношениями
x
1
= x
0
1
+ y
1
, x
2
= x
0
2
+ y
2
,
или, более кратко,
x = x
0
+ y. (2.3)
Говорят, что преобразование (2.3) есть параллельный перенос си-
стемы координат, определяемый вектором x
0
.
Нетрудно убедиться, что в декартовой системе координат y
1
, y
2
уравнение окружности приобретает вид
y
2
1
+ y
2
2
= R
2
. (2.4)
3. Естественно решить, в некотором смысле, обратную задачу:
исследовать, при каких значениях коэффициентов a
11
, a
1
, a
2
, a
0
урав-
нение (2.2) описывает окружность, т. е. его можно при помощи пре-
образования координат (2.3) при некотором специальном выборе на-
чала x
0
координат привести к виду (2.4).
Будем считать, что a
11
6= 0 (в противном случае уравнение (2.2) —
уравнение первого порядка и определяет некоторую прямую).
Разделим обе части уравнения (2.2) на a
11
и перейдем к новым
координатам y
1
, y
2
при помощи преобразования координат (2.3). Вы-
полним затем очевидные тождественные преобразования. Получим
y
2
1
+ y
2
2
+
µ
2x
0
1
+ 2
a
1
a
11
y
1
+
µ
2x
0
2
+ 2
a
2
a
11
y
2
+
a
0
a
11
+
+ 2
a
1
a
11
x
0
1
+ 2
a
2
a
11
x
0
2
+ (x
0
1
)
2
+ (x
0
2
)
2
= 0. (3.1)
Положим
x
0
1
= −
a
1
a
11
, x
0
2
= −
a
2
a
11
.
Тогда после элементарных преобразований уравнение (3.1) примет
вид
y
2
1
+ y
2
2
+
d
a
2
11
= 0, (3.2)
где d = a
11
a
0
− a
2
1
− a
2
2
.
§ 1. Кривые второго порядка                                           191


где a11 = 1, a1 = −x01 , a2 = −x02 , a0 = (x01 )2 + (x02 )2 − R2 . Таким
образом, уравнение окружности записано в виде (1.2) при некоторых
специальных значениях коэффициентов.
    Уравнение окружности существенно упростится, если перенести
начало координат в точку x0 . Иными словами, определить положе-
ние точки на плоскости новыми декартовыми координатами y1 , y2 ,
связанными со старыми координатами x1 , x2 соотношениями
                        x1 = x01 + y1 ,   x2 = x02 + y2 ,
или, более кратко,
                                  x = x0 + y.                       (2.3)
   Говорят, что преобразование (2.3) есть параллельный перенос си-
стемы координат, определяемый вектором x0 .
   Нетрудно убедиться, что в декартовой системе координат y1 , y2
уравнение окружности приобретает вид
                                y12 + y22 = R2 .                    (2.4)
     3. Естественно решить, в некотором смысле, обратную задачу:
исследовать, при каких значениях коэффициентов a11 , a1 , a2 , a0 урав-
нение (2.2) описывает окружность, т. е. его можно при помощи пре-
образования координат (2.3) при некотором специальном выборе на-
чала x0 координат привести к виду (2.4).
     Будем считать, что a11 6= 0 (в противном случае уравнение (2.2) —
уравнение первого порядка и определяет некоторую прямую).
     Разделим обе части уравнения (2.2) на a11 и перейдем к новым
координатам y1 , y2 при помощи преобразования координат (2.3). Вы-
полним затем очевидные тождественные преобразования. Получим
            µ            ¶      µ            ¶
   2    2      0     a1              0   a2         a0
 y1 + y2 + 2x1 + 2         y1 + 2x2 + 2        y2 +     +
                     a11                 a11        a11
                               a1       a2
                           + 2 x01 + 2 x02 + (x01 )2 + (x02 )2 = 0. (3.1)
                               a11      a11
Положим                     a1            a2
                           x01 = −
                                , x02 = − .
                            a11          a11
Тогда после элементарных преобразований уравнение (3.1) примет
вид
                                   d
                       y12 + y22 + 2 = 0,                 (3.2)
                                  a11
где d = a11 a0 − a21 − a22 .

Страницы