Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве 179
есть матрица ортогонального преобразования A относительного неко-
торого ортонормированного базиса. Матрица A
e
, как мы знаем, ор-
тогональна, т. е.
α
2
+ β
2
= 1, (2.2)
γ
2
+ δ
2
= 1, (2.3)
αγ + βδ = 0. (2.4)
Из (2.2), (2.3) вытекает, что существуют углы ϕ, ψ такие, что
α = cos ϕ, β = sin ϕ, γ = cos ψ, δ = sin ψ,
причем вследствие (2.4) получаем, что cos(ϕ − ψ) = 0, значит, ли-
бо ψ = ϕ + π/2, либо ψ = ϕ − π/2. В первом случае матрица A
e
записывается в виде
A
e
=
µ
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
, (2.5)
а во втором
A
e
=
µ
cos ϕ sin ϕ
sin ϕ −cos ϕ
. (2.6)
В первом случае det(A
e
) = 1, во втором случае det(A
e
) = −1.
Таким образом, матрица собственного ортогонального преобразо-
вания двумерного евклидова пространства в любом ортонормирован-
ном базисе имеет вид (2.5), а несобственного — (2.6).
За счет специального выбора ортонормированного базиса мат-
рицу несобственного ортогонального преобразования можно упро-
стить. Действительно, характеристическое уравнение матрицы (2.6),
как нетрудно проверить, имеет корни λ
1,2
= ±1, следовательно, су-
ществуют единичные векторы e
1
, e
2
такие, что Ae
1
= e
1
, Ae
2
= −e
2
.
Векторы e
1
, e
2
ортогональны. В самом деле, поскольку оператор A
ортогонален, можем написать, что
(e
1
, e
2
) = (Ae
1
, Ae
2
) = (e
1
, −e
2
) = −(e
1
, e
2
),
т. е. (e
1
, e
2
) = 0. Доказано, таким образом, что существует ортонорми-
рованный базис, в котором матрица несобственного ортогонального
оператора A имеет вид
A
e
=
µ
1 0
0 −1
(2.7)
и, следовательно, двумерное пространство распадается в ортогональ-
ную сумму двух одномерных собственных подпространств операто-
ра A.
§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве                   179


есть матрица ортогонального преобразования A относительного неко-
торого ортонормированного базиса. Матрица Ae , как мы знаем, ор-
тогональна, т. е.
                              α2 + β 2 = 1,                   (2.2)
                              γ 2 + δ 2 = 1,                  (2.3)
                             αγ + βδ = 0.                     (2.4)
Из (2.2), (2.3) вытекает, что существуют углы ϕ, ψ такие, что
              α = cos ϕ, β = sin ϕ, γ = cos ψ, δ = sin ψ,
причем вследствие (2.4) получаем, что cos(ϕ − ψ) = 0, значит, ли-
бо ψ = ϕ + π/2, либо ψ = ϕ − π/2. В первом случае матрица Ae
записывается в виде
                           µ              ¶
                            cos ϕ − sin ϕ
                     Ae =                   ,               (2.5)
                             sin ϕ  cos ϕ
а во втором                    µ               ¶
                                cos ϕ    sin ϕ
                          Ae =                   .                     (2.6)
                                 sin ϕ − cos ϕ
В первом случае det(Ae ) = 1, во втором случае det(Ae ) = −1.
   Таким образом, матрица собственного ортогонального преобразо-
вания двумерного евклидова пространства в любом ортонормирован-
ном базисе имеет вид (2.5), а несобственного — (2.6).
   За счет специального выбора ортонормированного базиса мат-
рицу несобственного ортогонального преобразования можно упро-
стить. Действительно, характеристическое уравнение матрицы (2.6),
как нетрудно проверить, имеет корни λ1,2 = ±1, следовательно, су-
ществуют единичные векторы e1 , e2 такие, что Ae1 = e1 , Ae2 = −e2 .
Векторы e1 , e2 ортогональны. В самом деле, поскольку оператор A
ортогонален, можем написать, что
              (e1 , e2 ) = (Ae1 , Ae2 ) = (e1 , −e2 ) = −(e1 , e2 ),
т. е. (e1 , e2 ) = 0. Доказано, таким образом, что существует ортонорми-
рованный базис, в котором матрица несобственного ортогонального
оператора A имеет вид
                                      µ     ¶
                                       1 0
                                 Ae =                               (2.7)
                                       0 −1
и, следовательно, двумерное пространство распадается в ортогональ-
ную сумму двух одномерных собственных подпространств операто-
ра A.

Страницы