Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве 177
1. Теорема. Пусть оператор A : X
n
→ X
n
унитарный. Тогда
существует ортонормированный базис {e
k
}
n
k=1
пространства X
n
такой, что
Ae
k
= λ
k
e
k
, k = 1, . . . , n. (1.1)
Доказательство. Выберем некоторый ортонормированный ба-
зис {f
k
}
n
k=1
в пространстве X
n
. Обозначим через A
f
матрицу опера-
тора A в этом базисе. Оператор A унитарный, следовательно, (см.
с. 151) матрица A
f
унитарная, т. е.
A
−1
f
= A
∗
f
. (1.2)
По теореме Шура существует унитарная матрица U такая, что
U
∗
A
f
U = T, (1.3)
где T — верхняя треугольная матрица, диагональные элементы кото-
рой — характеристические числа матрицы A
f
, или, что все равно, соб-
ственные числа оператора A. Как очевидное следствие равенства (1.3)
получаем
U
∗
A
∗
f
U = T
∗
. (1.4)
Из (1.2)–(1.4) вытекает, что
T T
∗
= U
∗
A
f
UU
∗
A
∗
f
U = I, (1.5)
следовательно,
T
∗
= T
−1
. (1.6)
Матрица, обратная к верхней треугольной — верхняя треугольная,
матрица T
∗
— нижняя треугольная. Из (1.6), стало быть, вытекает,
что T = Λ, где Λ — диагональная матрица, диагональ ее образована
числами λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
.
Дальнейшие рассуждения полностью повторяют соответствую-
щие рассуждения из доказательства теоремы 4, с. 171. ¤
§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве
В этом параграфе все операторы — операторы, действующие в
вещественном евклидовом пространстве X
n
. Многие утверждения в
этом параграфе доказываются вполне аналогично соответствующим
утверждениям для случая комплексного пространства. Мы приводим
поэтому только доказательства, специфические для вещественного
случая.
§ 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве            177


   1. Теорема. Пусть оператор A : Xn → Xn унитарный. Тогда
существует ортонормированный базис {ek }nk=1 пространства Xn
такой, что
                Aek = λk ek , k = 1, . . . , n.          (1.1)
    Доказательство. Выберем некоторый ортонормированный ба-
зис {f k }nk=1 в пространстве Xn . Обозначим через Af матрицу опера-
тора A в этом базисе. Оператор A унитарный, следовательно, (см.
с. 151) матрица Af унитарная, т. е.

                                A−1   ∗
                                 f = Af .                      (1.2)
По теореме Шура существует унитарная матрица U такая, что
                               U ∗ Af U = T,                   (1.3)
где T — верхняя треугольная матрица, диагональные элементы кото-
рой — характеристические числа матрицы Af , или, что все равно, соб-
ственные числа оператора A. Как очевидное следствие равенства (1.3)
получаем
                          U ∗ A∗f U = T ∗ .                    (1.4)
Из (1.2)–(1.4) вытекает, что
                      T T ∗ = U ∗ Af U U ∗ A∗f U = I,          (1.5)
следовательно,
                                T ∗ = T −1 .                   (1.6)
Матрица, обратная к верхней треугольной — верхняя треугольная,
матрица T ∗ — нижняя треугольная. Из (1.6), стало быть, вытекает,
что T = Λ, где Λ — диагональная матрица, диагональ ее образована
числами λ1 , λ2 , . . . , λn .
   Дальнейшие рассуждения полностью повторяют соответствую-
щие рассуждения из доказательства теоремы 4, с. 171. ¤

 § 5. Операторы в вещественном евклидовом пространстве

   В этом параграфе все операторы — операторы, действующие в
вещественном евклидовом пространстве Xn . Многие утверждения в
этом параграфе доказываются вполне аналогично соответствующим
утверждениям для случая комплексного пространства. Мы приводим
поэтому только доказательства, специфические для вещественного
случая.

Страницы