Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Самосопряженные операторы 175
что dim(L
k
) = n − k + 1. Значит, его пересечение с любым подпро-
странством R
k
размерности k нетривиально. Как показано в теоре-
ме 5.2,
min
x∈L
k
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
= λ
k
.
Поэтому для любого подпространства R
k
max
x∈R
k
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
> λ
k
.
Для завершения доказательства теоремы осталось указать такое под-
пространство R
k
размерности k, для которого
max
x∈R
k
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
= λ
k
.
Таким подпространством является подпространство, натянутое на
векторы e
1
, e
2
, . . . , e
k
. ¤
6. Из (5.4) сразу же следует, что для того, чтобы самосопряжен-
ный оператор A был неотрицателен (см. (13.8), с. 151), необходимо и
достаточно, чтобы все его собственные числа были неотрицательны-
ми, а для того чтобы самосопряженный оператор A был положитель-
но определен (см. (13.9), с. 151), необходимо и достаточно, чтобы все
его собственные числа были положительны.
7. Теорема. Пусть A
n+1
= {a
ij
}
n+1
i,j=1
— произвольная эрмитова
матрица порядка n + 1, A
n
= {a
ij
}
n
i,j=1
— матрица, соответствую-
щая ее главному минору порядка n. Пусть
ˆ
λ
1
6
ˆ
λ
2
6 ··· 6
ˆ
λ
n+1
—
собственные числа матрицы A
n+1
, λ
1
6 λ
2
6 ··· 6 λ
n
— собствен-
ные числа матрицы A
n
. Тогда
ˆ
λ
1
6 λ
1
6
ˆ
λ
2
6 λ
2
6 ··· 6 λ
n
6
ˆ
λ
n+1
, (7.1)
т. е., как говорят, собственные числа матриц A
n
и A
n+1
переме-
жаются.
Доказательство. В ходе последующих рассуждений под ска-
лярным произведением понимается стандартное скалярное произве-
дение в пространстве C
n
.
Пусть 1 6 k 6 n. В соответствии с теоремой 5.4
ˆ
λ
k+1
= min
R
k+1
max
x∈R
k+1
, x6=0
(A
n+1
x, x)
(x, x)
. (7.2)
§ 3. Самосопряженные операторы                                    175


что dim(Lk ) = n − k + 1. Значит, его пересечение с любым подпро-
странством Rk размерности k нетривиально. Как показано в теоре-
ме 5.2,
                                 (Ax, x)
                         min             = λk .
                      x∈Lk , x6=0 (x, x)

Поэтому для любого подпространства Rk
                                     (Ax, x)
                          max                > λk .
                        x∈Rk ,   x6=0 (x, x)

Для завершения доказательства теоремы осталось указать такое под-
пространство Rk размерности k, для которого
                                     (Ax, x)
                          max                = λk .
                        x∈Rk ,   x6=0 (x, x)

Таким подпространством является подпространство, натянутое на
векторы e1 , e2 , . . . , ek . ¤

    6. Из (5.4) сразу же следует, что для того, чтобы самосопряжен-
ный оператор A был неотрицателен (см. (13.8), с. 151), необходимо и
достаточно, чтобы все его собственные числа были неотрицательны-
ми, а для того чтобы самосопряженный оператор A был положитель-
но определен (см. (13.9), с. 151), необходимо и достаточно, чтобы все
его собственные числа были положительны.
    7. Теорема. Пусть An+1 = {aij }n+1i,j=1 — произвольная эрмитова
                                  n
матрица порядка n + 1, An = {aij }i,j=1 — матрица, соответствую-
щая ее главному минору порядка n. Пусть λ̂1 6 λ̂2 6 · · · 6 λ̂n+1 —
собственные числа матрицы An+1 , λ1 6 λ2 6 · · · 6 λn — собствен-
ные числа матрицы An . Тогда

                λ̂1 6 λ1 6 λ̂2 6 λ2 6 · · · 6 λn 6 λ̂n+1 ,      (7.1)
т. е., как говорят, собственные числа матриц An и An+1 переме-
жаются.
   Доказательство. В ходе последующих рассуждений под ска-
лярным произведением понимается стандартное скалярное произве-
дение в пространстве Cn .
   Пусть 1 6 k 6 n. В соответствии с теоремой 5.4
                                               (An+1 x, x)
                  λ̂k+1 = min       max                    .    (7.2)
                          Rk+1 x∈Rk+1 ,   x6=0   (x, x)

Страницы