Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Самосопряженные операторы 173
5.1. Теорема. Для любого x ∈ X
n
справедливы неравенства
λ
1
(x, x) 6 (Ax, x) 6 λ
n
(x, x), (5.2)
более того
λ
1
= min
x∈X
n
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
, λ
n
= max
x∈X
n
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
. (5.3)
Доказательство. Для x = 0 неравенства (5.2) выполняются
очевидным образом. Пусть x 6= 0. Возьмем в качестве базиса в про-
странстве X
n
ортонормированный базис E
n
= {e
k
}
n
k=1
собственных
векторов оператора A (см. теорему 4) и положим x = E
n
ξ. Тогда
(Ax, x) = (A
n
X
k=1
ξ
k
e
k
,
n
X
k=1
ξ
k
e
k
) =
=
³
n
X
k=1
λ
k
ξ
k
e
k
,
n
X
k=1
ξ
k
e
k
´
=
n
X
k=1
λ
k
|ξ
k
|
2
. (5.4)
Очевидно, что
λ
1
n
X
k=1
|ξ
k
|
2
6
n
X
k=1
λ
k
|ξ
k
|
2
6 λ
n
n
X
k=1
|ξ
k
|
2
,
n
X
k=1
|ξ
k
|
2
= (x, x),
следовательно, (5.2) доказано и для любого x 6= 0 справедливы нера-
венства
λ
1
6
(Ax, x)
(x, x)
6 λ
n
.
Очевидно, что
(Ae
1
, e
1
)
(e
1
, e
1
)
= λ
1
,
(Ae
n
, e
n
)
(e
n
, e
n
)
= λ
n
,
поэтому (5.3) также доказано. ¤
5.2. Теорема. Пусть L
k
, k > 2, — линейное подпространство
всех векторов из X
n
, ортогональных векторам e
1
, e
2
, . . . , e
k−1
,
а L
1
= X
n
. Тогда
λ
k
= min
x∈L
k
, x6=0
(Ax, x)
(x, x)
. (5.5)
Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказатель-
ству теоремы 5.1. При этом полезно заметить, что для x ∈ L
k
спра-
ведливо равенство (x, x) =
n
P
j=k
|ξ
j
|
2
. ¤
§ 3. Самосопряженные операторы                                                                                173


   5.1. Теорема. Для любого x ∈ Xn справедливы неравенства
                            λ1 (x, x) 6 (Ax, x) 6 λn (x, x),                                                (5.2)
более того
                                     (Ax, x)                                   (Ax, x)
             λ1 =         min                ,          λn =           max             .                    (5.3)
                        x∈Xn ,   x6=0 (x, x)                      x∈Xn ,   x6=0 (x, x)

   Доказательство. Для x = 0 неравенства (5.2) выполняются
очевидным образом. Пусть x 6= 0. Возьмем в качестве базиса в про-
странстве Xn ортонормированный базис En = {ek }nk=1 собственных
векторов оператора A (см. теорему 4) и положим x = En ξ. Тогда
                   n
                   X               n
                                   X
                             k
 (Ax, x) = (A             ξk e ,         ξ k ek ) =
                   k=1             k=1
                                          ³X
                                           n                      n
                                                                  X                ´       n
                                                                                           X
                                                              k                k
                                     =               λk ξk e ,          ξk e           =         λk |ξk |2 . (5.4)
                                               k=1                k=1                      k=1

Очевидно, что
           n
           X               n
                           X                           n
                                                       X                   n
                                                                           X
                    2                      2                       2
      λ1         |ξk | 6           λk |ξk | 6 λn              |ξk | ,                  |ξk |2 = (x, x),
           k=1              k=1                         k=1                k=1

следовательно, (5.2) доказано и для любого x 6= 0 справедливы нера-
венства
                              (Ax, x)
                         λ1 6         6 λn .
                               (x, x)
Очевидно, что
                          (Ae1 , e1 )                   (Aen , en )
                                      = λ1 ,                        = λn ,
                           (e1 , e1 )                    (en , en )
поэтому (5.3) также доказано. ¤
    5.2. Теорема. Пусть Lk , k > 2, — линейное подпространство
всех векторов из Xn , ортогональных векторам e1 , e2 , . . . , ek−1 ,
а L1 = Xn . Тогда
                                     (Ax, x)
                      λk = min               .                 (5.5)
                          x∈Lk , x6=0 (x, x)

    Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказатель-
ству теоремы 5.1. При этом полезно заметить, что для x ∈ Lk спра-
                           P
                           n
ведливо равенство (x, x) =   |ξj |2 . ¤
                                         j=k

Страницы