Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

170 Глава 6. Строение линейного оператора
Рассуждая точно так же, как при построении матрицы U
1
, можно
построить унитарную матрицу U
2
порядка n − 1 такую, что
U
∗
2
A
1
U
2
=
µ
λ
2
∗
0 A
2
. (2.4)
Положим
V
2
=
µ
1 0
0 U
2
.
Матрица V
2
, как нетрудно убедиться, есть унитарная матрица поряд-
ка n. Проводя элементарные вычисления, получим
V
∗
2
U
∗
1
AU
1
V
2
=
λ
1
∗ ∗
0 λ
2
∗
0 0 A
2
.
Понятно, что, продолжая этот процесс, можно построить унитар-
ные матрицы V
3
, . . . , V
n−1
такие, что матрица
V
∗
n−1
···V
∗
2
U
∗
1
AU
1
V
2
···V
n−1
есть верхняя треугольная матрица, на главной диагонали которой по-
следовательно стоят числа λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
. Положим U = U
1
V
2
···V
n−1
.
Матрица U унитарна как произведение унитарных матриц (см. с. 88),
причем U
∗
= V
∗
n−1
···V
∗
2
U
∗
1
, поэтому матрица T = U
∗
AU имеет
вид (2.2). ¤
3. Из доказательства теоремы Шура видно, что если матрица A
вещественна и и все ее характеристические числа (а, следвательно, и
собственные векторы) вещественны, то матрица U в (2.1) может быть
выбрана вещественной и унитарной, иными словами, ортогональной.
4. Доказательство теоремы 1. Пусть A — произвольный ли-
нейный оператор, действующий в пространстве X
n
, F
n
= {f
k
}
n
k=1
—
произвольно фиксированный ортонормированный базис в X
n
, То-
гда AF
n
= F
n
A
f
, где A
f
— матрица оператора A в этом базисе
(см.(1.3), с. 144). По теореме Шура существует унитарная матрица U
такая, что A
f
= UT U
∗
, где T — матрица вида (2.2), λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
—
характеристические числа матрицы A
f
, или, что все равно, — соб-
ственные числа оператора A, следовательно, AF
n
= F
n
UT U
∗
, или
AF
n
U = F
n
UT . Положим E
n
= F
n
U. Тогда E
n
— ортонормированный
базис, так как F
n
— ортонормированный базис, а матрица U унитар-
на (см. п. 9, с. 128). Следовательно, AE
n
= E
n
T , т. е. T — матрица
оператора A в ортонормированном базисе E
n
. ¤
170                                      Глава 6. Строение линейного оператора


Рассуждая точно так же, как при построении матрицы U1 , можно
построить унитарную матрицу U2 порядка n − 1 такую, что
                                µ      ¶
                       ∗          λ2 ∗
                     U2 A1 U2 =          .                (2.4)
                                  0 A2
Положим                             µ     ¶
                                     1 0
                               V2 =         .
                                     0 U2
Матрица V2 , как нетрудно убедиться, есть унитарная матрица поряд-
ка n. Проводя элементарные вычисления, получим
                                            
                                     λ1 ∗ ∗
                   V2∗ U1∗ AU1 V2 =  0 λ2 ∗  .
                                      0 0 A2
   Понятно, что, продолжая этот процесс, можно построить унитар-
ные матрицы V3 , . . . , Vn−1 такие, что матрица
                         ∗
                       Vn−1 · · · V2∗ U1∗ AU1 V2 · · · Vn−1
есть верхняя треугольная матрица, на главной диагонали которой по-
следовательно стоят числа λ1 , λ2 , . . . , λn . Положим U = U1 V2 · · · Vn−1 .
Матрица U унитарна как произведение унитарных матриц (см. с. 88),
причем U ∗ = Vn−1∗
                    · · · V2∗ U1∗ , поэтому матрица T = U ∗ AU имеет
вид (2.2). ¤

    3. Из доказательства теоремы Шура видно, что если матрица A
вещественна и и все ее характеристические числа (а, следвательно, и
собственные векторы) вещественны, то матрица U в (2.1) может быть
выбрана вещественной и унитарной, иными словами, ортогональной.

    4. Доказательство теоремы 1. Пусть A — произвольный ли-
нейный оператор, действующий в пространстве Xn , Fn = {f k }nk=1 —
произвольно фиксированный ортонормированный базис в Xn , То-
гда AFn = Fn Af , где Af — матрица оператора A в этом базисе
(см.(1.3), с. 144). По теореме Шура существует унитарная матрица U
такая, что Af = U T U ∗ , где T — матрица вида (2.2), λ1 , λ2 , . . . , λn —
характеристические числа матрицы Af , или, что все равно, — соб-
ственные числа оператора A, следовательно, AFn = Fn U T U ∗ , или
AFn U = Fn U T . Положим En = Fn U . Тогда En — ортонормированный
базис, так как Fn — ортонормированный базис, а матрица U унитар-
на (см. п. 9, с. 128). Следовательно, AEn = En T , т. е. T — матрица
оператора A в ортонормированном базисе En . ¤

Страницы