Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы 167
Значит, если все корни уравнения (4.6) — комплексные числа, то
оператор A не имеет собственных векторов.
Таким образом, линейный оператор, действующий в веществен-
ном пространстве, может не иметь одномерных инвариантных под-
пространств.
Однако каждому комплексному характеристическому числу мат-
рицы A
e
соответствует двумерное инвариантное подпространство опе-
ратора A.
Действительно, если λ = α + iβ — комплексное характеристиче-
ское число матрицы A
e
, то det(A
e
− λI) = 0 и система уравнений
(A
e
− λI)ξ = 0 (4.19)
имеет нетривиальное комплексное решение ξ = ζ +iη. Поясним, что ζ
и η — вещественные векторы из R
n
. Более подробная запись систе-
мы (4.19), с учетом того, что A
e
— вещественная матрица, дает
A
e
ζ + iA
e
η = (α + iβ)(ζ + iη) = αζ − βη + i(βζ + αη),
откуда, приравнивая вещественные и мнимые части, получаем
A
e
ζ = αζ − βη,
A
e
η = βζ + αη.
Полагая x = E
n
ζ, y = E
n
η, будем иметь
Ax = αx − βy, (4.20)
Ay = βx + αy. (4.21)
Образуем подпространство L, натянутое на векторы x, y. Пусть век-
тор z ∈ L. Это означает, что z = γx + δy для некоторых γ, δ ∈ R.
Тогда Az ∈ L. В самом деле,
Az = γAx + δAy = γ(αx − βy) + δ(βx + αy) =
= (αγ + βδ)x + (αδ −βγ)y ∈ L.
Таким образом, L — инвариантное подпространство оператора A.
Упражнения
1) Показать, что векторы x, y, удовлетворяющие соотношени-
ям (4.20), (4.21), линейно независимы, т. е подпространство L дву-
мерно.
2) Пусть X
n
— вещественное пространство. Показать, что в лю-
бом подпространстве L
m
⊂ X
n
, размерности m > 2, инвариантном
относительно оператора A : X
n
→ X
n
, оператор A имеет либо одно-
мерное, либо двумерное инвариантное подпространство.
§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы             167


    Значит, если все корни уравнения (4.6) — комплексные числа, то
оператор A не имеет собственных векторов.
    Таким образом, линейный оператор, действующий в веществен-
ном пространстве, может не иметь одномерных инвариантных под-
пространств.
    Однако каждому комплексному характеристическому числу мат-
рицы Ae соответствует двумерное инвариантное подпространство опе-
ратора A.
    Действительно, если λ = α + iβ — комплексное характеристиче-
ское число матрицы Ae , то det(Ae − λI) = 0 и система уравнений
                            (Ae − λI)ξ = 0                       (4.19)
имеет нетривиальное комплексное решение ξ = ζ +iη. Поясним, что ζ
и η — вещественные векторы из Rn . Более подробная запись систе-
мы (4.19), с учетом того, что Ae — вещественная матрица, дает
       Ae ζ + iAe η = (α + iβ)(ζ + iη) = αζ − βη + i(βζ + αη),
откуда, приравнивая вещественные и мнимые части, получаем
                            Ae ζ = αζ − βη,
                            Ae η = βζ + αη.
Полагая x = En ζ, y = En η, будем иметь
                            Ax = αx − βy,                        (4.20)
                          Ay = βx + αy.                    (4.21)
Образуем подпространство L, натянутое на векторы x, y. Пусть век-
тор z ∈ L. Это означает, что z = γx + δy для некоторых γ, δ ∈ R.
Тогда Az ∈ L. В самом деле,
 Az = γAx + δAy = γ(αx − βy) + δ(βx + αy) =
                               = (αγ + βδ)x + (αδ − βγ)y ∈ L.
Таким образом, L — инвариантное подпространство оператора A.
   Упражнения
   1) Показать, что векторы x, y, удовлетворяющие соотношени-
ям (4.20), (4.21), линейно независимы, т. е подпространство L дву-
мерно.
   2) Пусть Xn — вещественное пространство. Показать, что в лю-
бом подпространстве Lm ⊂ Xn , размерности m > 2, инвариантном
относительно оператора A : Xn → Xn , оператор A имеет либо одно-
мерное, либо двумерное инвариантное подпространство.

Страницы