Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 160 стр.

                              Глава 6
             Строение линейного оператора


   В этой главе будут исследованы операторы, действующие в ком-
плексном евклидовом пространстве Xn . Основное внимание уделено
тем классам операторов, которые уже были введены в предыдущей
главе. Рассмотрены также и операторы, действующие в конечномер-
ном вещественном евклидовом пространстве.

§ 1. Инвариантные подпространства. Собственные векторы

    1. Инвариантные подпространства. Пусть A : Xn → Xn — линей-
ный оператор. Подпространство L ⊂ Xn называется инвариантным
подпространством оператора A, если оператор A отображает всякий
вектор x из L в вектор, также принадлежащий подпространству L.
    Тривиальные подпространства, т. е. L = {0} и L = Xn являются
инвариантными подпространствами любого оператора A : Xn → Xn .
    Пусть P — оператор проектирования евклидова пространства Xn
на подпространство L ⊂ Xn . Ясно, что P x = x для любого x ∈ L
и P x = 0 для любого x ∈ L⊥ , т. е. L и L⊥ — инвариантные подпро-
странства оператора P .
    Приведем простой, но в то же время, как мы увидим в дальней-
шем, в некотором смысле, исключительный, пример оператора, не
имеющего нетривиальных инвариантных подпространств.
    Пусть X2 — двумерное вещественное евклидово пространство.
Нетрудно убедится, что если L — нетривиальное подпространство X 2 ,
то L — множество векторов вида αe, где e — фиксированный ненуле-
вой вектор, а α пробегает все множество вещественных чисел (можно
сказать, что L — прямая на двумерной плоскости, проходящая через
начало координат). Введем в X2 ортонормированный базис e1 , e2 .
Пусть Q : X2 → X2 — оператор, отображающий каждый век-
тор x = ξ1 e1 + ξ2 e2 в вектор y = −ξ2 e1 + ξ1 e2 . Векторы x и y ор-
тогональны, поэтому ясно, что если L — нетривиальное подпростран-
ство X2 , то для x ∈ L вектор Qx ∈ L⊥ и, следовательно, Qx ∈     / L,
если x 6= 0, т. е. оператор Q не имеет нетривиальных инвариантных
подпространств.