Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 158 стр.

§ 3. Линейные уравнения                                                              157


уравнений, найдем x1 , x2 , . . . , xr . Таким образом, будет построен
вектор x = (x1 , . . . , xr , xr+1 , . . . , xn ), являющийся решением си-
стемы (4.1).
    Пример. Найдем частное решение системы уравнений

                                 x1 − x2 + x3 − x4 = 4,                             (7.1)
                                 x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 8,                           (7.2)
                                 2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4 = 20.                       (7.3)

Определитель                                   ¯    ¯
                                               ¯1 −1¯
                                               ¯
                                          ∆2 = ¯    ¯,
                                                 1 1¯
находящийся в левом верхнем       углу    матрицы системы уравнений, не равен нулю. Опре-
делители            ¯               ¯     ¯           ¯    ¯       ¯
                    ¯1 −1         1¯¯     ¯1 −1 −1¯        ¯1 −1 4¯
                    ¯                     ¯           ¯    ¯       ¯
                    ¯1 1          2¯¯ ,   ¯1 1     3 ¯¯ , ¯¯1  1 8¯¯ ,
                    ¯                     ¯
                    ¯2 4          5¯      ¯2 4 10 ¯        ¯2  4 20¯
окаймляющие определитель ∆2 — нули. Поэтому ранг основной матрицы системы урав-
нений равен двум, и ранг расширенной матрицы системы уравнений равен двум. Си-
стема совместна, причем последнее уравнение — следствие первых двух уравнений си-
стемы. Таким образом, чтобы найти частное решение системы (7.1)–(7.3), достаточно
решить систему двух уравнений (7.1)–(7.2), придавая x3 , x4 произвольные значения.
Полагая x3 = x4 = 0, находим x1 = 6, x2 = 2, следовательно, вектор x = (6, 2, 0, 0) —
решение системы (7.1)–(7.3).

    7.2. Обратимся теперь к задаче построения фундаментальной
системы решений однородной системы уравнений
                                             Ax = 0                                (7.4)
с матрицей размера m × n. Пусть rank(A) = r. Вследствие (6.2) до-
статочно построить любые n − r линейно независимых решений одно-
родной системы уравнений (7.4). Будем, естественно, предполагать,
что n > r.
    Выполнив те же действия, что в п. 5.1, приведем систему уравне-
ний (7.4) к эквивалентной системе вида
                  A(r, r)x(r, 1) + B(r, n − r)y(n − r, 1) = 0.                     (7.5)
Здесь A(r, r) — невырожденная матрица, столбец y(n − r, 1) соответ-
ствует свободным переменным. Выберем векторы
               y 1 (n − r, 1),     y 2 (n − r, 1), . . . ,   y n−r (n − r, 1)      (7.6)