Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 152 стр.

§ 2. Матрица оператора. Некоторые классы операторов                     151


   Оператор A : Xn → Xn называется самосопряженным (эрмито-
вым), если A∗ = A, иными словами, если
                    (Ax, y) = (x, Ay) ∀ x, y ∈ Xn .                  (13.7)
Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном
базисе эрмитова.
   Самосопряженный оператор A называется неотрицательным, ес-
ли
                    (Ax, x) > 0 ∀ x ∈ Xn ,             (13.8)
и — положительно определенным, если
                      (Ax, x) > 0 ∀ x 6= 0 из Xn .                   (13.9)
   Эрмитова матрица A порядка n называется неотрицательной,
если                   n
                       X
             (Ax, x) =   aij xi x̄j > 0 ∀ x ∈ Cn ,   (13.10)
                             i,j=1
и — положительно определенной, если
                          n
                          X
              (Ax, x) =           aij xi x̄j > 0 ∀ x 6= 0 из Cn .   (13.11)
                          i,j=1

В двух последних определениях скобками обозначено стандартное
скалярное произведение в пространстве Cn .
    Упражнения
    1) Показать, что для любого оператора A : Xn → Xn опера-
тор A∗ A самосопряжен и неотрицателен. Если оператор A невырож-
ден, то оператор A∗ A положительно определен.
    2) Показать, что матрица положительно определенного оператора
в любом ортонормированном базисе положительно определена.
    3) Показать, что все элементы главной диагонали положительно
определенной матрицы положительны.
   14. Унитарный оператор. Оператор A : Xn → Xn называется
унитарным, если
                      AA∗ = A∗ A = I.                (14.1)
   Упражнения
   1) Покажите, что матрица унитарного оператора в ортонормиро-
ванном базисе унитарна.
   2) Покажите, что определитель унитарного оператора по модулю
равен единице.