Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. Основные уравнения
Из этих уравнений, равенства (1.14) и равенства
div
β
E = 0, x ∈ R
2
\ Γ,
справедливого при сделанных предположениях относительно n в силу
уравнения (1.13), получаем требуемое утверждение. ¤
§ 2. Электромагнитные потенциалы
Для определения комплексных амплитуд собственных волн на
плоскости нужно найти нетривиальные решения системы уравне-
ний (1.3), то есть определить шесть скалярных функций, являющихся
компонентами векторов E и H. Во многих случаях оказывается удоб-
ным ввести некоторые вспомогательные функции, называемые элек-
тромагнитными потенциалами, через которые определенным образом
выражаются амплитуды собственных волн. Введем в рассмотрение
электромагнитные потенциалы, следуя [12].
Определение 1.1. Вектор-функция A(x) и скалярная функ-
ция ϕ(x) называются векторным потенциалом и скалярным потен-
циалом векторного поля {E, H}, если справедливо представление
E =iωµ
0
A − grad
β
ϕ, (1.17)
H = rot
β
A. (1.18)
Утверждение 1.3. Для любых ненулевых векторов E и H,
удовлетворяющих системе уравнений (1.3), существует векторный
потенциал A и скалярный потенциал ϕ. Если потенциалы A и ϕ
связаны друг с другом условием Лоренца,
div
β
A = iωε
0
n
2
∞
ϕ, (1.19)
то они для всех x ∈ R
2
\ Γ удовлетворяют уравнениям:
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
A = −J, (1.20)
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
ϕ = −ρ, (1.21)
где
J = −iωε
0
(n
2
− n
2
∞
)E, (1.22)
ρ = −E · (n
−2
gradn
2
).
10                                             Глава 1. Основные уравнения


Из этих уравнений, равенства (1.14) и равенства

                     divβ E = 0,   x ∈ R2 \ Γ,

справедливого при сделанных предположениях относительно n в силу
уравнения (1.13), получаем требуемое утверждение. ¤

             § 2. Электромагнитные потенциалы

   Для определения комплексных амплитуд собственных волн на
плоскости нужно найти нетривиальные решения системы уравне-
ний (1.3), то есть определить шесть скалярных функций, являющихся
компонентами векторов E и H. Во многих случаях оказывается удоб-
ным ввести некоторые вспомогательные функции, называемые элек-
тромагнитными потенциалами, через которые определенным образом
выражаются амплитуды собственных волн. Введем в рассмотрение
электромагнитные потенциалы, следуя [12].
   Определение 1.1. Вектор-функция A(x) и скалярная функ-
ция ϕ(x) называются векторным потенциалом и скалярным потен-
циалом векторного поля {E, H}, если справедливо представление

                       E =iωµ0 A − gradβ ϕ,                         (1.17)
                           H = rotβ A.                              (1.18)

    Утверждение 1.3. Для любых ненулевых векторов E и H,
удовлетворяющих системе уравнений (1.3), существует векторный
потенциал A и скалярный потенциал ϕ. Если потенциалы A и ϕ
связаны друг с другом условием Лоренца,

                        divβ A = iωε0 n2∞ ϕ,                        (1.19)

то они для всех x ∈ R2 \ Γ удовлетворяют уравнениям:
                    £    ¡             ¢¤
                      ∆ + k 2 n2∞ − β 2 A = −J,                     (1.20)
                    £     ¡            ¢¤
                      ∆ + k 2 n2∞ − β 2 ϕ = −ρ,                     (1.21)

где

                      J = −iωε0 (n2 − n2∞ )E,                       (1.22)
                      ρ = −E · (n−2 gradn2 ).

Страницы