Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8 Глава 1. Основные уравнения
x
2
x
1
x
3
Ω
n=n(x)
n=n
∞
Ω
∞
Γ
Рис. 1. Схематическое изображение поперечного сечения цилиндрического диэлектри-
ческого волновода в однородной окружающей среде
Пусть F = (F
1
, F
2
, F
3
, )
T
(x) и u = u(x) — достаточно гладкие
вектор-функция и скалярная функция соответственно. Введем диф-
ференциальные операторы:
div
β
F = ∂F
1
/∂x
1
+ ∂F
2
/∂x
2
+ iβF
3
,
∆u = ∂
2
u
±
∂x
2
1
+ ∂
2
u
±
∂x
2
2
,
grad
β
u = (∂u/∂x
1
, ∂u/∂x
2
, iβu)
T
,
gradu = (∂u/∂x
1
, ∂u/∂x
2
, 0)
T
.
Непосредственными вычислениями легко проверить справедливость
следующих формул:
div
β
¡
grad
β
u
¢
= ∆u − β
2
u, (1.5)
div
β
(rot
β
F) = 0, (1.6)
div
β
(uF) = udiv
β
F+F · gradu, (1.7)
rot
β
¡
grad
β
u
¢
= 0, (1.8)
rot
β
(rot
β
F) = −∆F+β
2
F + grad
β
(div
β
F) , (1.9)
∆ (div
β
F) = div
β
(∆F) . (1.10)
Здесь и далее символом “·” обозначено скалярное произведение век-
торов.
8                                                 Глава 1. Основные уравнения



                               x
                                      2



                     Ω                          n=n
                                                   ∞
                       ∞


               Γ
                      Ω
                              x
                                  3
                                                              x
                                                                  1

                              n=n(x)



Рис. 1. Схематическое изображение поперечного сечения цилиндрического диэлектри-
ческого волновода в однородной окружающей среде

   Пусть F = (F1 , F2 , F3 , )T (x) и u = u(x) — достаточно гладкие
вектор-функция и скалярная функция соответственно. Введем диф-
ференциальные операторы:

                   divβ F = ∂F1 /∂x1 + ∂F2 /∂x2 + iβF3 ,
                                  ±            ±
                        ∆u = ∂ 2 u ∂x21 + ∂ 2 u ∂x22 ,
                    gradβ u = (∂u/∂x1 , ∂u/∂x2 , iβu)T ,
                      gradu = (∂u/∂x1 , ∂u/∂x2 , 0)T .
Непосредственными вычислениями легко проверить справедливость
следующих формул:
                          ¡        ¢
                     divβ gradβ u = ∆u − β 2 u,          (1.5)
                           divβ (rotβ F) = 0,            (1.6)
                   divβ (uF) = udivβ F+F · gradu,        (1.7)
                               ¡        ¢
                          rotβ gradβ u = 0,              (1.8)
                                      2
            rotβ (rotβ F) = −∆F+β F + gradβ (divβ F) ,   (1.9)
                       ∆ (divβ F) = divβ (∆F) .         (1.10)

Здесь и далее символом “·” обозначено скалярное произведение век-
торов.

Страницы