Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Уравнения для амплитуд собственных волн 7
Мы будем изучать собственные волны, то есть решения системы
уравнений Максвелла (1.1), имеющие вид
·
E
H
¸
(x, x
3
, t) = Re
µ·
E
H
¸
(x) exp(i(βx
3
− ωt))
. (1.2)
Здесь
E = (E
1
, E
2
, E
3
)
T
, H = (H
1
, H
2
, H
3
)
T
есть комплексные амплитуды векторов напряженности электрическо-
го и магнитного поля E и H; ω > 0 — частота электромагнитных коле-
баний; β — комплексный параметр, который называется продольной
постоянной распространения.
В задачах о собственных волнах диэлектрических волноводов
нужно найти такие значения ω и β, при которых существуют нетри-
виальные решения системы уравнений Максвелла (1.1), имеющие
вид (1.2), удовлетворяющие условиям сопряжения на границах разде-
ла сред и соответствующим условиям на бесконечности в плоскости
поперечного сечения волновода.
Построим уравнения, которым удовлетворяют комплексные ам-
плитуды собственных волн. Обозначим символом R
2
плоскость по-
перечного сечения волновода {x
3
= const}. Пусть Ω — ограниченная
область на плоскости R
2
, ее граница Γ — гладкая кривая; Ω
∞
= R
2
\
Ω.
Относительно показателя преломления волновода n предположим
следующее: n = n
∞
= const при x ∈ Ω
∞
; n — гладкая веществен-
ная функция в области Ω;
n
+
= max
x∈Ω
n(x) > n
∞
> 0;
функция n может иметь разрыв первого рода на контуре Γ. Схема-
тическое изображение поперечного сечения волновода приведено на
рисунке 1.
Подставляя векторы E и H вида (1.2) в уравнения Максвел-
ла (1.1), получим систему уравнений
rot
β
E =iωµ
0
H, rot
β
H = − iωε
0
n
2
E, x ∈ R
2
\ Γ, (1.3)
где векторная операция rot
β
определена равенством
rot
β
E =
∂E
3
/∂x
2
− iβE
2
iβE
1
− ∂E
3
/∂x
1
∂E
2
/∂x
1
− ∂E
1
/∂x
2
. (1.4)
§ 1. Уравнения для амплитуд собственных волн                           7


   Мы будем изучать собственные волны, то есть решения системы
уравнений Максвелла (1.1), имеющие вид
      ·   ¸                  µ· ¸                     ¶
        E                      E
            (x, x3 , t) = Re      (x) exp(i(βx3 − ωt)) .   (1.2)
        H                      H
Здесь
                 E = (E1 , E2 , E3 )T ,   H = (H1 , H2 , H3 )T
есть комплексные амплитуды векторов напряженности электрическо-
го и магнитного поля E и H; ω > 0 — частота электромагнитных коле-
баний; β — комплексный параметр, который называется продольной
постоянной распространения.
    В задачах о собственных волнах диэлектрических волноводов
нужно найти такие значения ω и β, при которых существуют нетри-
виальные решения системы уравнений Максвелла (1.1), имеющие
вид (1.2), удовлетворяющие условиям сопряжения на границах разде-
ла сред и соответствующим условиям на бесконечности в плоскости
поперечного сечения волновода.
    Построим уравнения, которым удовлетворяют комплексные ам-
плитуды собственных волн. Обозначим символом R2 плоскость по-
перечного сечения волновода {x3 = const}. Пусть Ω — ограниченная
область на плоскости R2 , ее граница Γ — гладкая кривая; Ω∞ = R2 \Ω.
Относительно показателя преломления волновода n предположим
следующее: n = n∞ = const при x ∈ Ω∞ ; n — гладкая веществен-
ная функция в области Ω;

                        n+ = max n(x) > n∞ > 0;
                                x∈Ω

функция n может иметь разрыв первого рода на контуре Γ. Схема-
тическое изображение поперечного сечения волновода приведено на
рисунке 1.
    Подставляя векторы E и H вида (1.2) в уравнения Максвел-
ла (1.1), получим систему уравнений

        rotβ E =iωµ0 H,    rotβ H = − iωε0 n2 E,      x ∈ R2 \ Γ,   (1.3)

где векторная операция rotβ определена равенством
                                               
                             ∂E3 /∂x2 − iβE2
                 rotβ E =  iβE1 − ∂E3 /∂x1  .                     (1.4)
                            ∂E2 /∂x1 − ∂E1 /∂x2

Страницы