Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Уравнения для амплитуд собственных волн 9
Утверждение 1.1. Пусть E, H — нетривиальное решение си-
стемы уравнений (1.3). Тогда для всех x ∈ R
2
\ Γ справедливы сле-
дующие равенства:
rot
β
(rot
β
E) = k
2
n
2
E, (1.11)
rot
β
¡
n
−2
rot
β
H
¢
= k
2
H, (1.12)
div
β
¡
n
2
E
¢
= 0, (1.13)
div
β
H = 0, (1.14)
где k
2
= ε
0
µ
0
ω
2
.
Доказательство. Равенства (1.11) и (1.12) легко получить,
применив операцию rot
β
к правым и левым частям уравнений (1.3).
Для того, чтобы получить равенства (1.13) и (1.14), надо применить
к правым и левым частям уравнений (1.3) операцию div
β
и восполь-
зоваться формулой (1.6). ¤
Вещественный параметр k называется продольным волновым чис-
лом.
Утверждение 1.2. Пусть E, H — нетривиальное решение си-
стемы уравнений (1.3); показатель преломления n принимает в об-
ласти Ω постоянное значение n
+
. Тогда в R
2
\ Γ функции E и H
удовлетворяют уравнениям Гельмгольца
£
∆ +
¡
k
2
n
2
+
− β
2
¢¤
·
E
H
¸
= 0, x ∈ Ω, (1.15)
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
·
E
H
¸
= 0, x ∈ Ω
∞
. (1.16)
Доказательство. Функция n принимает постоянное значе-
ние n
∞
> 0 при x ∈ Ω
∞
. По предположению в области Ω функция n
также принимает положительное постоянное значение n
+
. Таким об-
разом, применяя к уравнениям (1.11), (1.12) формулу (1.9), получаем
следующие уравнения:
−∆E + β
2
E + grad
β
(div
β
E) = k
2
n
2
+
E, x ∈ Ω,
−∆H + β
2
H + grad
β
(div
β
H) = k
2
n
2
+
H, x ∈ Ω,
−∆E + β
2
E + grad
β
(div
β
E) = k
2
n
2
∞
E, x ∈ Ω
∞
,
−∆H + β
2
H + grad
β
(div
β
H) = k
2
n
2
∞
H, x ∈ Ω
∞
.
§ 1. Уравнения для амплитуд собственных волн                          9


   Утверждение 1.1. Пусть E, H — нетривиальное решение си-
стемы уравнений (1.3). Тогда для всех x ∈ R2 \ Γ справедливы сле-
дующие равенства:

                           rotβ (rotβ E) = k 2 n2 E,              (1.11)
                               ¡           ¢
                          rotβ n−2 rotβ H = k 2 H,                (1.12)
                                   ¡     ¢
                              divβ n2 E = 0,                      (1.13)
                                 divβ H = 0,                      (1.14)

где k 2 = ε0 µ0 ω 2 .
    Доказательство. Равенства (1.11) и (1.12) легко получить,
применив операцию rotβ к правым и левым частям уравнений (1.3).
Для того, чтобы получить равенства (1.13) и (1.14), надо применить
к правым и левым частям уравнений (1.3) операцию div β и восполь-
зоваться формулой (1.6). ¤
    Вещественный параметр k называется продольным волновым чис-
лом.
   Утверждение 1.2. Пусть E, H — нетривиальное решение си-
стемы уравнений (1.3); показатель преломления n принимает в об-
ласти Ω постоянное значение n+ . Тогда в R2 \ Γ функции E и H
удовлетворяют уравнениям Гельмгольца
                                  · ¸
              £     ¡ 2 2    2
                               ¢¤ E
                ∆ + k n+ − β          = 0, x ∈ Ω,        (1.15)
                                   H
                                 · ¸
            £      ¡ 2 2     ¢¤    E
              ∆ + k n∞ − β 2         = 0, x ∈ Ω∞ .       (1.16)
                                   H
   Доказательство. Функция n принимает постоянное значе-
ние n∞ > 0 при x ∈ Ω∞ . По предположению в области Ω функция n
также принимает положительное постоянное значение n+ . Таким об-
разом, применяя к уравнениям (1.11), (1.12) формулу (1.9), получаем
следующие уравнения:

              −∆E + β 2 E + gradβ (divβ E) = k 2 n2+ E, x ∈ Ω,
              −∆H + β 2 H + gradβ (divβ H) = k 2 n2+ H, x ∈ Ω,
             −∆E + β 2 E + gradβ (divβ E) = k 2 n2∞ E, x ∈ Ω∞ ,
             −∆H + β 2 H + gradβ (divβ H) = k 2 n2∞ H, x ∈ Ω∞ .

Страницы