Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 11 стр.

§ 2. Электромагнитные потенциалы                                        11


   Доказательство. Пусть ненулевые векторы E и H удовлетво-
ряют системе уравнений (1.3). Поскольку в силу утверждения 1.1
                               divβ H = 0,
то существует такая вектор-функция A, что имеет место представле-
ние (1.18). Подставим (1.18) в первое из уравнений (1.3) и получим
равенство
                       rotβ (E − iωµ0 A) = 0.
Следовательно, существует такая скалярная функция ϕ, что справед-
ливо равенство (1.17). Таким образом, любое нетривиальное решение
системы уравнений (1.3) может быть выражено через функции A(x)
и ϕ(x).
    Определим теперь, каким уравнениям удовлетворяют потенциа-
лы A и ϕ. Подставим представления (1.18) и (1.17) во второе из урав-
нений (1.3). В результате получим равенство
             rotβ (rotβ A) − k 2 n2∞ A = iωε0 n2∞ gradβ ϕ + J,   (1.23)
где вектор-функция J определена по формуле (1.22). Из уравнения
                             ¡    ¢
                         divβ n2 E = 0,
формулы (1.7) и представления (1.17) получаем цепочку равенств:
                                     ¡                ¢
 0 = n2 divβ E + E · gradn2 = n2 divβ iωµ0 A − gradβ ϕ + E · gradn2 .
Отсюда и из формулы (1.5) следует, что
             −iωµ0 divβ A + ∆ϕ − β 2 ϕ = E · (n−2 gradn2 ).      (1.24)
Как известно [12], в силу неоднозначности определения потенциа-
лов A и ϕ можно наложить на них дополнительное условие, которое
позволит упростить уравнения (1.23) и (1.24). Пусть A и ϕ удовле-
творяют условию Лоренца (1.19). Тогда из (1.23) и (1.24) при помощи
формулы (1.9) получим уравнения (1.20) и (1.21). ¤
   Определение 1.2. Вектор-функция Π(x) называется вектором
Герца или поляризационным потенциалом векторного поля {E, H},
если справедливо представление
                        ¡                   ¢
                    E = k 2 n2∞ + gradβ divβ Π,        (1.25)
                          H = −iωε0 n2∞ rotβ Π.                  (1.26)