Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Электромагнитные потенциалы 13
Выразим теперь векторы E и H через Π:
E = iωµ
0
A − grad
β
ϕ = iωµ
0
¡
−iωε
0
n
2
∞
Π
¢
+ grad
β
div
β
Π =
=
¡
k
2
n
2
∞
+ grad
β
div
β
¢
Π,
H = rot
β
A = −iωε
0
n
2
∞
rot
β
Π.
Таким образом, согласно определению 1.2 вектор Π является поляри-
зационным потенциалом. ¤
Определение 1.3. Скалярные функции u(x) и v(x) называются
потенциальными, если справедливы представления
E
1
=
i
k
2
n
2
− β
2
µ
µ
0
ω
∂v
∂x
2
+ β
∂u
∂x
1
,
E
2
=
−i
k
2
n
2
− β
2
µ
µ
0
ω
∂v
∂x
1
− β
∂u
∂x
2
, (1.30)
E
3
= u,
H
1
=
i
k
2
n
2
− β
2
µ
β
∂v
∂x
1
− ε
0
n
2
ω
∂u
∂x
2
,
H
2
=
i
k
2
n
2
− β
2
µ
β
∂v
∂x
2
+ ε
0
n
2
ω
∂u
∂x
1
, (1.31)
H
3
= v.
Утверждение 1.5. Пусть показатель преломления n принима-
ет в области Ω постоянное значение n
+
, и выполняются следующие
условия:
β 6= ±kn
+
, β 6= ±kn
∞
. (1.32)
Тогда для любого нетривиального решения E, H системы уравне-
ний (1.3) существуют потенциальные функции u(x) и v(x). Потен-
циальные функции u(x) и v(x) для всех x ∈ R
2
\ Γ удовлетворяют
уравнениям Гельмгольца
£
∆ +
¡
k
2
n
2
+
− β
2
¢¤
·
u
v
¸
= 0, x ∈ Ω, (1.33)
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
·
u
v
¸
= 0, x ∈ Ω
∞
. (1.34)
§ 2. Электромагнитные потенциалы                               13


   Выразим теперь векторы E и H через Π:
                                ¡           ¢
    E = iωµ0 A − gradβ ϕ = iωµ0 −iωε0 n2∞ Π + gradβ divβ Π =
                      ¡                   ¢
                    = k 2 n2∞ + gradβ divβ Π,
                     H = rotβ A = −iωε0 n2∞ rotβ Π.
Таким образом, согласно определению 1.2 вектор Π является поляри-
зационным потенциалом. ¤
   Определение 1.3. Скалярные функции u(x) и v(x) называются
потенциальными, если справедливы представления
                              µ                    ¶
                         i           ∂v         ∂u
              E1 = 2 2          µ0 ω     +β           ,
                    k n − β2         ∂x2       ∂x1
                              µ                    ¶
                       −i            ∂v         ∂u
              E2 = 2 2          µ0 ω     −β           ,   (1.30)
                    k n − β2         ∂x1       ∂x2
                             E3 = u,
                             µ                       ¶
                       i         ∂v              ∂u
             H1 = 2 2      2
                               β      − ε 0 n2 ω        ,
                   k n −β        ∂x1             ∂x2
                             µ                       ¶
                       i         ∂v          2 ∂u
             H2 = 2 2          β      + ε0 n ω          , (1.31)
                   k n − β2      ∂x2             ∂x1
                             H3 = v.

    Утверждение 1.5. Пусть показатель преломления n принима-
ет в области Ω постоянное значение n+ , и выполняются следующие
условия:
                    β 6= ±kn+ , β 6= ±kn∞ .                (1.32)
Тогда для любого нетривиального решения E, H системы уравне-
ний (1.3) существуют потенциальные функции u(x) и v(x). Потен-
циальные функции u(x) и v(x) для всех x ∈ R2 \ Γ удовлетворяют
уравнениям Гельмгольца
                                    · ¸
                £     ¡ 2 2      ¢¤   u
                  ∆ + k n+ − β 2        = 0, x ∈ Ω,       (1.33)
                                      v
                                   · ¸
              £      ¡ 2 2     ¢¤    u
                ∆ + k n∞ − β 2          = 0, x ∈ Ω∞ .     (1.34)
                                     v

Страницы